2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4第12课　特征值与特征向量

第12课__特征值与特征向量____

　基础诊断　

1. 求矩阵M＝的特征值和特征向量．

2. 已知二阶矩阵A有特征值λ1＝1及对应的一个特征向量e1＝和特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e2＝，试求矩阵A.

　范例导航　

　　例1　已知x，y∈R，向量a＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．

已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及其对应的一个特征向量α1＝.

(1) 求矩阵M；

(2) 求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在矩阵M对应的变换作用下的新曲线方程．

　　例2　给定矩阵M＝及向量α＝.

(1) 求M的特征值及对应的特征向量；

(2) 确定实数a，b使向量α可表示为α＝ae1＋be2；

(3) 利用(2)中表达式间接计算M3α，Mnα.

已知向量e1＝是二阶矩阵M＝的属于特征值λ1＝2的一个特征向量．

(1) 求矩阵M；

(2) 求α＝，求M10α.

　自测反馈　

1. 已知二阶矩阵M的特征值λ＝1及对应的一个特征向量e＝，且M＝，求矩阵M.

2. 已知M＝，α＝，试计算M20α.

1. 运用定义求特征值与特征向量时，不同的特征值对应的特征向量不相等；矩阵的特征向量是在矩阵变换下的不变量．

2. 变换的几何意义：只改变特征向量的长度不改变方向．

3. 你还有哪些体悟，写下来：

第12课　特征值与特征向量

　基础诊断　

1. 解析：矩阵M的特征值λ满足方程

f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×＝0，即λ2－2λ－8＝0，

解得矩阵M的两个特征值为λ1＝4，λ2＝－2.

将λ1＝4代入二元一次方程组得矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.

将λ2＝－2代入二元一次方程组得矩阵M的属于特征值－2的一个特征向量为.

综上所述，λ1＝4，λ2＝－2，属于特征值λ1＝4的一个特征向量为，属于特征值λ2＝－2的一个特征向量为.

2. 解析：设矩阵A＝，a，b，c，d∈R.

因为e1＝是矩阵A的属于λ1＝1的特征向量，

则＝.①

因为e2＝是矩阵A的属于λ2＝2的特征向量，则＝.②

根据①②，则有解得

所以A＝.

　范例导航　

例1　解析：由已知得Aα＝－2α，

即＝＝，

则即

所以矩阵A＝，

所以矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，

令f(λ)＝0，解得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝1，

所以矩阵A＝，它的另一个特征值为1.

解析：(1) 由已知得＝4，

则＝，即解得

所以M＝.

(2) 设曲线5x2＋8xy＋4y2＝1上的任意一点P(x，y)，点P在矩阵M对应的变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，

即解得

代入5x2＋8xy＋4y2＝1，得x′2＋y′2＝2，

即曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在矩阵M对应的变换作用下得到的新曲线的方程是x2＋y2＝2.

例2　解析：(1) 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ＋4)(λ－7)，

令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值为λ1＝－4，λ2＝7.

当λ1＝－4时，设对应的特征向量为，则它满足方程组则可取e1＝为λ1＝4的一个特征向量．

同理可得λ2＝7的一个特征向量为e2＝.

综上所述，M的特征值为λ1＝－4，λ2＝7.

λ1＝－4对应的一个特征向量为e1＝，

λ2＝7对应的一个特征向量为e2＝.

(2) 由a＝ae1＋be2得

解得

故当a＝－1，b＝3时，向量α可表示为α＝－e1＋3e2.

(3) M3α＝－λe1＋3λe2＝64＋1 029＝.　

Mnα＝－λe1＋3λe2＝－(－4)n＋3×7n

＝＋

＝.　

解析：(1) 由题意得＝2，即

解得故矩阵M＝.

(2) 由(1)可知M＝，则求出其另一个特征值为1，其对应的一个特征向量为e2＝.

又α＝，令α＝me1＋ne2，可解得m＝1，n＝1，即α＝e1＋e2，故M10α＝M10e1＋M10e2＝210＋110＝＝.

　自测反馈　

1. 解析：设M＝，则由＝，再由＝，

易得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，故M＝.

2. 解析：令矩阵M的特征多项式f(λ)＝(λ－1)2－4＝0，得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为和，而α＝＋2，

所以M20α＝320＋2×(－1)20＝.