2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4第16课　常见曲线的参数方程

　　　____第16课__常见曲线的参数方程____

　基础诊断　

1. 方程(t为参数)表示的曲线是________________________________________________________________________．

2. 直线(t为参数)与曲线(θ为参数)的公共点的个数为________．

3. 参数方程(t为参数)，且0≤t≤5表示的曲线是________．(填序号)

①线段；②双曲线；③圆弧；④射线．

4. 直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A、B两点，则AB的中点坐标为________．

　范例导航　

　　例1　(1) 将参数方程(t为参数)化为普通方程；

(2) 将参数方程(θ为参数)化为普通方程．

在曲线C1：(θ为参数)上求一点，使它到直线C2：(t为参数)的距离最小，并求出该点的坐标和最小距离．

　　例2　已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝.

(1) 写出直线l的参数方程；

(2) 设直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，求点P到A、B两点的距离之积．

点P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，求x＋2y的最大值．

　　例3　已知P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点．

(1) 求2x＋y的取值范围；

(2) 若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．

　自测反馈　

1. P(x，y)是曲线(θ为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为________．

2. 直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长等于________．

3. 若P为曲线(θ为参数)上一点，则点P与坐标原点的最短距离为________．

4. 曲线C: (θ为参数)的普通方程是________________________，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0 有公共点，那么实数a的取值范围是________．

1. 参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易被忽视．

2. 解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁？代表的几何意义是什么？其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．

3. 写出直线，圆，椭圆的参数方程：

________________________________________________________________________.

第16课　常见曲线的参数方程

　基础诊断　

1. 一条射线　解析：由(t为参数)，得y＝x，x≥0，故该参数方程对应的曲线为一条射线．

2. 2　解析：直线的普通方程为y＝x，曲线的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，则该曲线是以点(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为圆心到直线的距离d＝＝<1，所以直线与曲线的公共点的个数为2.

3. ①　解析：由题可得(t为参数)，则＝y＋1，即x－3y－5＝0，又0≤t≤5，所以该曲线为线段，故选①.

4. (3，－)　解析：由＋＝16，得t2－8t＋12＝0，＝－×＝4，所以AB中点为即故AB的中点坐标为(3，－)．

　范例导航　

例1　解析：(1) 方法一：因为－＝4，所以－＝4，化简得普通方程为－＝1.

方法二：因为(t为参数)，所以t＝，＝，相乘得＝1，化简得普通方程为－＝1.

(2) 由(θ为参数)，

因为θ∈R，所以－1≤sin θ≤1，则－≤x≤.

由①两边平方得x2＝2sin2θ，③

由②得y－1＝2cos2θ，④

由③＋④得x2＋y－1＝2，即y＝－x2＋3(－≤x≤)，

故普通方程为y＝－x2＋3(－≤x≤)．

注：将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，可以借助于三角函数的平方关系，因此想到把①两边平方，然后和②相加即可，同时求出x的取值范围．

【教学处理】

1. 参数方程的教学要求不要拔高．参数方程与普通方程互相转化时特别要注意等价性，本题是直线与圆的位置关系．

2. 本题也可通过画图来解．

解析：直线C2化成普通方程是x＋y＋2－1＝0，

设所求的点为P(1＋cos θ，sin θ)，则点P到直线C2的距离d＝

＝ |sin＋2|.

当θ＋＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z时，d取最小值1，

此时，点P的坐标是.

例2　【教学处理】

要给学生尝试解题的时间，再指名学生回答，教师点评并板书．

解析：(1)  直线的参数方程为

(t为参数)，即(t为参数)．

(2) 将直线(t为参数)代入x2＋y2＝4，得＋＝4，化简得t2＋(＋1)t－2＝0，故t1t2＝－2，则点P到A、B两点的距离之积为2.

解析：将椭圆2x2＋3y2＝12化为＋＝1，

设x＝cos θ，y＝2sinθ，

x＋2y＝cos θ＋4sinθ＝(cos θ＋sin θ)＝sin≤，其中tan α＝，

故x＋2y的最大值为.

例3　解析：(1)  由题意得圆的参数方程为(θ为参数)，

所以2x＋y＝2cosθ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1，其中tan φ＝2，

所以－＋1≤2x＋y≤＋1.

(2) x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0，

所以a≥－cos θ－sin θ－1＝－sin－1，

所以a≥－1.

　自测反馈　

1. 36　解析：因为曲线的参数方程为(θ为参数)，所以(x－5)2＋(y＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝1＋9＋16－6cosθ＋8sinθ＝26－10sin(α－θ)，故(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.

2. 　解析：把直线(t为参数)代入圆x2＋y2＝9，得(2t－1)2＋(t＋1)2＝9，化简得5t2－2t－7＝0，故t1＋t2＝，t1t2＝－，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝，所以直线被圆截得的弦长为＝.

3. －1　解析：将题目中参数方程化为普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即该曲线表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆，所以点P到原点最短距离为－1＝－1.

4. x2＋(y＋1)2＝1　[1－，1＋]　解析：由题意得(θ为参数)，所以x2＋(y＋1)2＝1.曲线C是以(0，－1)为圆心，1为半径的圆，圆心到直线x＋y＋a＝0的距离为，又因为曲线与直线有公共点，则0≤≤1，即1－≤a≤1＋.