2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4第17课　极坐标与参数方程的应用

　____第17课__极坐标与参数方程的应用____

　基础诊断　

1. 将参数方程(α为参数)化为普通方程为________________．

2. 圆ρ＝3cosθ被直线(t为参数)截得的弦长为________．

3. 圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．

4. 在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a(a>0)与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝________．

　范例导航　

　　例1　在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．

在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cos(θ－)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被圆C截得的弦AB的长度．

　　例2　在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α是参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsin＝2.

(1) 写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2) 设点P在曲线C1上，点Q在直线C2上，求PQ的最小值及此时点P的直角坐标．

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ是参数)，直线l的参数方程为(t是参数)．

(1) 若a＝－1，求曲线C与直线l的交点坐标；

(2) 若曲线C上的点到直线l距离的最大值为，求a的值．

　　例3　在平面直角坐标系xOy中，设动点P，Q都在曲线C：(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α，θ＝2α(0<α<2π)，设PQ的中点M与定点A(1，0)间的距离为d，求d的取值范围．

　自测反馈　

1. 在极坐标系中，直线4ρcos＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为________．

2. 已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4sin，则它的直角坐标方程为______________．

3. 在平面直角坐标系xOy中，过椭圆(φ为参数)的左焦点与直线(t为参数)垂直的直线方程为________．

4. 设直线l1的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系得到另一直线l2的方程为ρsinθ－3ρcosθ＋4＝0，若直线l1与l2之间的距离为，则实数a的值为________．

1. 求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接利用极坐标求解，求解时可与数形结合的思想一起应用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解．使用后一种方法时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．

2. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．

3. 总结参数方程求解的思路：

第17课　极坐标与参数方程的应用

　基础诊断　

1. x2＋(y－1)2＝1(－1≤x≤1)　解析：由题意得(α为参数)，所以x2＋(y－1)2＝1，即该参数方程化为普通方程为x2＋(y－1)2＝1且－1≤x≤1.

2. 3　解析：圆ρ＝3cosθ化为直角坐标方程为＋y2＝.将直线(t为参数)代入＋y2＝得20t2＋10t－1＝0，则t1＋t2＝－，t1t2＝－，所以(t1－t2)2＝，故直线截得的弦长为＝3.

3. (1，0)　解析：由题意得曲线参数方程(t为参数)，将②两边平方得y2＝4t2.又因为x＝t2，所以该曲线的普通方程为y2＝4x，故焦点为(1，0)．

4 1＋　解析：圆ρ＝2cosθ，转化成ρ2＝2ρcosθ，

进一步转化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，把直线ρ cos θ＋ρ sin θ＝a的方程转化成直角坐标方程为x＋y－a＝0.由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以 ＝1，且a>0，故a＝1＋.

　范例导航　

例1　解析：直线l的普通方程为x＋y＝3，

代入抛物线y2＝4x并整理得x2－10x＋9＝0，

解得x＝1或x＝9，所以交点A(1，2)，B(9，－6)，故AB＝8.

解析：圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心C(2，2)，半径r＝2，

直线l的普通方程为x－y－2＝0.

圆心到直线l的距离d＝＝，

所以弦长AB＝2＝2.

例2　解析：(1) 曲线C1的参数方程为(α是参数)，化为普通方程，即有椭圆C1：＋y2＝1.

曲线C2的极坐标方程为ρ sin＝2，

可得ρ sin θ＋ρ cos θ＝2，

即直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2) 由题意可得当直线x＋y－4＝0的平行线与椭圆相切时，PQ取得最值．

设与直线x＋y－4＝0平行的直线方程为x＋y＋t＝0，　

联立可得4x2＋6tx＋3t2－3＝0，

由直线与椭圆相切，得Δ＝36t2－16(3t2－3)＝0，

解得t＝±2，

显然当t＝－2时，PQ取得最小值，即有PQ min＝，

此时4x2－12x＋9＝0，解得x＝，

故此时点P的直角坐标为.

【注】 (1) 运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程．

(2) 由题意可得当直线x＋y－4＝0的平行线与椭圆相切时，PQ取得最值．设与直线x＋y－4＝0平行的直线方程为x＋y＋t＝0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得PQ的最小值，解方程可得点P的直角坐标．

解析：(1) 曲线C的参数方程为(θ为参数)，化为普通方程是＋y2＝1.

当a＝－1时，直线l的参数方程化为普通方程是x＋4y－3＝0.

联立方程

解得或

所以椭圆C和直线l的交点为(3，0)和.　

(2) 直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程是x＋4y－a－4＝0，

椭圆C上的任意一点P可以表示成P(3cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，

所以点P到直线l的距离d为

d＝＝，其中，φ满足tanφ＝，且d的最大值为.

①当－a－4≤0，即a≥－4时，

|5sin(θ＋φ)－a－4|≤|－5－a－4|＝5＋a＋4＝17，解得a＝8≥－4，符合题意；

②当－a－4>0，即a<－4时，

|5sin(θ＋φ)－a－4|≤|5－a－4|＝5－a－4＝1－a＝17，解得a＝－16<－4，符合题意．

综上所述，a的值为8或－16.

【注】 (1) 将曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的参数方程化为普通方程，联立两方程可以求得交点坐标．

(2) 曲线C上的点可以表示成P(3cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，运用点到直线距离公式可以表示出点P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．

本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a.

例3　解析：由题设知点P(1＋2cosα，2sinα)，Q(1＋2cos2α，2sin2α)，

于是PQ中点M(1＋cosα＋cos2α，sin α＋sin2α)．

从而d2＝MA2＝(cosα＋cos2α)2＋(sin α＋sin2α)2＝2＋2cosα.

因为0<α<2π，所以－1≤cosα<1，

于是0≤d2<4，故d的取值范围是[0，2)．

备用题

已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．

解析：因为x2＝t＋－2，所以x2＋2＝t＋＝，

故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.

　自测反馈　

1. 2　解析：直线4ρcos＋1＝0化为直角坐标方程为2x＋2y＋1＝0.圆ρ＝2sinθ化为直角坐标方程x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.所以圆心C(0，1)到直线的距离d＝<1＝R，所以直线4ρcos(θ－)＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为2.

2. (x＋1)2＋(y－)2＝4　解析：曲线C：ρ＝4sin化为ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，化为直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－)2＝4.

3. x＋2y＋4＝0　解析：椭圆(φ为参数)化为＋＝1，直线(t为参数)化为2x－y－6＝0.由此可得椭圆左焦点为(－4，0)，令过点(－4，0)且与该直线垂直的直线为x＋2y＋c＝0，将点(－4，0)代入得c＝4，故过点(－4，0)与直线(t为参数)垂直的直线方程为x＋2y＋4＝0.

4. 9或－11　解析：直线l1：(t为参数)化为普通方程为3x－y＋a－3＝0，直线l2：ρsinθ－3ρcosθ＋4＝0，化为直角坐标方程为－3x＋y＋4＝0，即这两条直线平行，故l1与l2间的距离为d＝＝，解得a＝9或a＝－11.