2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4第18课　抛物线的标准方程与几何性质

____第18课__抛物线的标准方程与几何性质____

　基础诊断　

1. 若已知抛物线的准线方程为x＝－7，顶点为坐标原点，则抛物线的标准方程为________．

2. 若已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＝2上，则抛物线的方程是____________________．

3. 抛物线y2＝8x上的两点M、N到焦点F的距离分别是d1，d2，若d1＋d2＝5，则线段MN的中点P到y轴的距离为 ______________．

4. 若双曲线x2－y2＝a2(a>0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝________．

　范例导航　

　　例1　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．

(1) 求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2) 是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

已知抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x＋t与抛物线W相交于A，B两点．

(1) 若t＝0，求AB的值；

(2) 若AB＝3，求△ABF的周长．

　　例2　过直线y＝－1上的动点A(a，－1)作抛物线y＝x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点．求证：

(1) 若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，则k1·k2为定值；

(2) 直线PQ过定点．

直线l：y＝k(x＋2)与抛物线E：y2＝4x交于A，B两点，点A关于x轴的对称点是C，求证：直线BC恒过一定点．

　　例3　在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，F为其焦点，点E的坐标为(2，0)，设点M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C与另一点N，连结ME，NE并延长分别交抛物线C于点P，Q.

(1) 当MN⊥Ox时，求直线PQ与x轴的交点坐标；

(2) 当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k1＝2k2.

　自测反馈　

1. 已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2，2)，则△ABF的面积等于________．

2. 已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，过点M(1，0)且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B，若＝2，则k＝ ________．

3. 抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线C上的一点P(在第一象限内)作直线l的垂线PQ，垂足为Q，若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．

4. 已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．

1. 抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，可以使运算化繁为简．

2. 在抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离. 牢记它对解题非常有益．

3. 对条件的分析，不仅是初步能转化成什么，更要注意条件转化的方向，你的体会是：

第18课　抛物线的标准方程与几何性质

　基础诊断　

1. y2＝28x　解析：由题意可知抛物线的准线方程为x＝－7，即－＝－7，则p＝14.又因为该抛物线顶点为坐标原点，所以抛物线的标准方程为y2＝28x.

2. y2＝8x或x2＝－8y　解析：若抛物线关于y轴对称，则令该抛物线焦点为，代入直线x－y＝2得－＝2，解得p＝－4，故此时抛物线的方程是x2＝－8y；若抛物线关于x轴对称，则令该抛物线焦点为，代入直线x－y＝2得＝2，解得p＝4，故此时抛物线的方程是y2＝8x.综上，该抛物线方程为y2＝8x或x2＝－8y.

3. 　解析：因为抛物线y2＝8x上两点M，N到焦点F的距离分别是d1，d2，且d1＋d2＝5，所以点M，N到准线的距离和为5，因为抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，所以线段MN的中点P到y轴的距离为－2＝.

4. 　解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，故双曲线x2－y2＝a2的右焦点为(1，0)，即2a2＝1，且a>0，故a＝.

　范例导航　

例1　解析：(1) 将(1，－2)代入y2＝2px，得p＝2，

故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

(2) 直线OA的方程为y＝－2x.

设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，

由得y2＋2y－2t＝0.

因为直线l与抛物线C有公共点，

所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

另一方面，由直线OA与l的距离d＝，

可得＝，解得t＝1或t＝－1(舍去)，

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.

解析：(1) 当t＝0时，直线方程为y＝2x，由

得到或

不妨设点A(0，0)，B(1，2)，

故AB＝＝.

(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

得整理得4x2＋(4t－4)x＋t2＝0，

则

所以AB＝·|x2－x1|＝·＝·，

即·＝3，解得t＝－4.

经检验，此时Δ>0，且x1＋x2＝1－t＝5，AB＝3.

根据抛物线的定义，得到

AF＋BF＝＋＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7，

所以△ABF的周长为7＋3.

【注】 本题主要考查了抛物线中的弦长公式．

(1) 当t＝0时，求出AB方程，然后与抛物线联立方程组，解出点A，B的坐标，即可求出AB.

(2) 联立得到关于x的二次方程，根据弦长公式，求出t的值，再根据AF＋BF＝＋＝x1＋x2＋p就可以得出结果．

例2　解析：(1) 设过点A作抛物线y＝x2的切线的斜率为k，则切线的方程为y＋1＝k(x－a)，

与方程y＝x2联立，消去y，得x2－kx＋ak＋1＝0.

因为直线与抛物线相切，

所以Δ＝k2－4(ak＋1)＝0，即k2－4ak－4＝0.

由题意知，此方程两根为k1，k2，所以k1·k2＝－4，即k1·k2为定值．

(2) 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由y＝x2，得y′＝2x，

所以在点P处的切线斜率为k1＝2x1，

因此，切线方程为y－y1＝2x1(x－x1)．

由y1＝x，化简得2x1x－y－y1＝0.

同理可得2x2x－y－y2＝0.

因为两切线的交点为A(a，－1)，故2x1a－y1＋1＝0，2x2a－y2＋1＝0，

所以P，Q两点在直线2xa－y＋1＝0上，即直线PQ的方程为2xa－y＋1＝0.

当x＝0时，y＝1，所以直线PQ经过定点(0，1)．

解析：由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)(x1≠x2)，

由直线代入抛物线方程，消x整理得ky2－4y＋8k＝0，则y1y2＝8，y1＋y2＝.

直线BC：y＋y1＝(x－x1)＝(x－x1)，所以y＝(x－x1)－y1＝－＝(x－2)，

故直线BC恒过定点(2，0)．

例3　解析：(1) 抛物线C：y2＝4x，焦点F(1，0)．当MN⊥Ox时，直线MN的方程为x＝1，将x＝1代入抛物线C：y2＝4x，得y＝±2.不妨设点M(1，2)，N(1，－2)，则直线ME的方程是y＝－2x＋4，由解得x＝1或x＝4，于是点P(4，－4)，同理得Q(4，4)，所以直线PQ：x＝4，所以直线PQ与x轴的交点坐标为(4，0)．

(2) 设直线MN的方程为x＝my＋1，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由得y2－4my－4＝0，于是y1y2＝－4，从而x1x2＝＝1.设直线MP的方程为x＝ty＋2，由得y2－4ty－8＝0，于是y1y3＝－8，x1x3＝4.同理y2y4＝－8，x2x4＝4，所以y3＝2y2，x3＝4x2，y4＝2y1，x4＝4x1，

k2＝＝＝·＝k1，即k1＝2k2.

　自测反馈　

1. 2　解析：由题意得该抛物线准线为x＝－1，焦点F(1，0)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，y1＋y2＝4，所以(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．因为x1≠x2，所以＝＝1，所以直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x，将其代入y2＝4x，得点A(0，0)，B(4，4)，所以AB＝4.又点F(1，0)到直线y＝x的距离为，所以S△ABF＝××4＝2.

2. ±2　解析：由题意得，抛物线准线为x＝－1，则点M到准线的距离为2.因为＝2，所以点B的横坐标为2，代入抛物线C：y2＝4x，可得y＝±2，所以B的坐标为(2，2)或(2，－2)，则k＝＝±2.

3. (4，4)　解析：设点P(t>0)，则四边形AFPQ的周长为AF＋PF＋PQ＋AQ＝16，所以2＋＋1＋＋1＋t＝16，解得t＝4或t＝－6(舍去)，故点P的坐标为(4，4)．

4. －1　解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，设点P到直线l的距离为d.由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为PF－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋PF－1.又因为d＋PF的最小值为点F到直线l的距离，所以d＋PF的最小值为＝，所以d＋PF－1的最小值为－1.