2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4第15课　极坐标方程与直角坐标方程的互化

　____第15课__极坐标方程与直角坐标方程的互化____

　基础诊断　

1. 点M的直角坐标为(，－1)，在ρ≥0，0≤θ<2π的要求下，它的极坐标为________．

2. 极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0转化为直角坐标方程为________________．

3. 在极坐标系中，定点A，点B在直线 ρcosθ＋ρsinθ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．

4. 在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

　范例导航　

　　例1　(1) 化直角坐标方程x2＋y2－8y＝0为极坐标方程；

(2) 化极坐标方程ρ＝6cos为直角坐标方程．

(1) 在极坐标系中，曲线C1：ρsin2θ＝cosθ和曲线C2：ρsinθ＝1.求曲线C1和曲线C2交点的直角坐标；

(2) 在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ垂直于极轴的两条切线方程．

　　例2　在极坐标系中，已知圆C经过点P(，), 圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1) 写出曲线C的方程；

(2) 设直线l：2x＋y－2＝0与曲线C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．

　　例3　已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2k·cos(k≠0)．若直线l上的点到圆C的最小距离等于2.求实数k的值和圆心C的直角坐标．

　自测反馈　

1. 将下列直角坐标方程化为极坐标方程．

(1) x＋2y－3＝0；

(2) x2＋2＝9.

2. 将下列极坐标方程转化为直角坐标方程．

(1) θ＝；

(2) ρcos＝1；

(3) ρ＝5sin.

3. 在极坐标系中，点(1，0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为________．

4. 在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为d，则d的最大值为________．

1. 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式直接代入即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．

2. 对于在极坐标系下不便处理的问题，可考虑将其转化为直角坐标下的问题，但要注意转化的等价性．

3. 你还有哪些体悟，写下来：

第15课　极坐标方程与直角坐标方程的互化

　基础诊断　

1. 　解析：由题意得又因为ρ≥0，0≤θ<2π，所以解得则点M的极坐标为.

2. x2＋y2＝0或x＝1　解析：ρ2cosθ－ρ＝0，即为ρ＝ρ2cosθ，若ρ>0，则ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为x＝1；若ρ＝0，则ρ2cosθ－ρ＝0化为直角坐标方程为x2＋y2＝0.

3. 　解析：直线ρcosθ＋ρsinθ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A化为直角坐标为(0，1)．线段AB最短时，即过点A作直线的垂线，交点为B.由此可求得直线AB方程为x－y＋1＝0，所以交点B的直角坐标为，化成极坐标为.

4. 4　解析：由题意可得直线与圆的交点是和，所以弦长为＝4.

　范例导航　

例1　解析：(1) 因为直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，所以该方程表示以(0，4)为圆心，4为半径的圆，故该方程化为极坐标方程为ρ＝8sinθ.

(2) 在ρ＝6cos中，可化简为ρ＝3cosθ＋3sinθ，两边同时乘以ρ得ρ2＝3ρcosθ＋3ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－3x－3y＝0.

解析：(1) 曲线C1：ρsin2θ＝cosθ化为直角坐标方程为y2＝x，

曲线C2：ρsinθ＝1化为直角坐标方程为y＝1，

联立方程组解得故交点的直角坐标为(1，1)．

(2) 由题可得该圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以该圆垂直于极轴的两条切线方程为x＝2或x＝0，化为极坐标方程为θ＝或ρcosθ＝2.

【注】 两种形式的方程互化的前提条件：(1) 以直角坐标系中的原点为极点，x轴的正半轴为极轴且在两坐标系中取相同的长度单位．(2) 先将方程两边同乘以ρ，化成直角坐标方程．

例2　解析：在ρsin＝－中，令θ＝0得ρ＝1，因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以极坐标方程为ρ＝2cosθ.

解析：(1) x2＋＝1.

(2) 由解得或

不妨设点P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，则所求直线斜率为k＝，所求直线的直角坐标方程为y－1＝，化为极坐标方程为2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，

即ρ＝.

【注】 (1) 建立适当的极坐标系，设点P(ρ，θ)是曲线上的任意一点，直接列出极径ρ和极角θ之间的关系式，再进行整理、化简. (2) 在极坐标系下不能处理的问题，将它转化到直角坐标系下来处理．

例3　解析：因为ρ＝kcosθ－ksinθ，ρ2＝kρcosθ－kρsinθ，所以圆C的直角坐标为x2＋y2－kx＋ky＝0，即＋＝k2.

故圆心C的直角坐标为.

因为ρsinθ－ρcosθ＝4，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得＝2k＋3，解得k＝－1，实数k的值为－1.

【注】 主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的综合应用．

　自测反馈　

1. 解析：(1) 将x＝ρ cos θ，y＝ρ sin θ代入x＋2y－3＝0，得ρ cos θ＋2ρsinθ－3＝0，即ρ(cos θ＋2sinθ)＝3.

(2) x2＋(y－2)2＝9即为x2＋y2－4y＝5，将x＝ρ cos θ，y＝ρ sin θ代入得ρ2－4ρsinθ＝5.

2. 解析：(1) 因为θ＝，所以x＝ρ cos θ＝ρ，y＝ρ sin θ＝ρ，故θ＝化为直角坐标方程为y＝x.

(2) ρ cos＝1可化为ρ cos θ＋ρ sin θ＝1，即ρ cos θ＋ρ sin θ－2＝0.

又x＝ρ cos θ，y＝ρ sin θ，

所以ρ cos＝1化为直角坐标方程为x＋y－2＝0.

(3) ρ＝5sin可化为ρ＝sin θ－cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝ρ sin θ－ρ cos θ.

则ρ＝5sin化为直角坐标方程为x2＋y2＋x－y＝0.

3. 　解析：因为ρ(cos θ＋sin θ)＝2，所以直线的直角坐标方程为x＋y＝2，故点(1，0)到直线的距离d＝＝.

4. 4　解析：由题意可知圆的圆心为(0，0)，半径为3，又因为ρ(cos θ＋sin θ)＝2，所以直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0，所以圆心到直线的距离为＝1，所以   d max＝1＋3＝4.