2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4第13课　矩阵的简单应用

第13课__矩阵的简单应用____

　基础诊断　

1. 设数列{an}，{bn}满足an＋1＝3an＋2bn，bn＋1＝2bn，且满足＝M，则二阶矩阵M＝________．

2. 设某校午餐有A，B两种便当选择，经统计数据显示，今天订A便当的人，第二天再订A便当的概率是；今天订B便当的人，第二天再订B便当的概率为，已知星期一有40%的同学订了A便当，60%的同学订了B便当，则星期四时订A便当同学的概率是多少？

　范例导航　

　　例1　自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等．因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系．但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为{an}，{bn}，有关系式其中a1＝6，b1＝4，试分析20个时段后，这两个种群的数量变化趋势．

已知矩阵M＝，β＝.

(1) 求出矩阵M的特征值和特征向量；

(2) 计算M4β，M10β，M100β；

(3) 从第(2)小题的计算中，你发现了什么？

　　例2　某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过10个环节，把由数字0，1构成的数字信号由发生端传到接收端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3，把0错转为1的概率为0.2，若发出的数字信号中共有10 000个1，5 000个0.问：

(1) 从第1个环节转出的信号中0，1各有多少个？

(2) 最终接收端收到的信号中0，1个数各是多少？(精确到十位)

(3) 该同学为了完善自己的仪器，决定在接收端前加一个修正器，把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接收到的0和1的个数与发出的信号相同．

学校餐厅每天供应1 000名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B菜，而选B菜的，下周星期一会有30%改选A菜，若用An，Bn分别表示在第n个星期一选A，B菜的人数．

(1) 若＝M，请写出二阶矩阵M；

(2) 若第一周有300人选择A菜，700人选择B菜，试判断其变换趋势．

　自测反馈　

1. 已知矩阵M＝，β＝，计算M6β.

2. 已知矩阵A＝，向量α＝，计算A5α.　

1. 对于二阶矩阵A，它的特征值分别为λ1，λ2，其对应的特征向量分别为α1，α2，若当非零向量β＝mα1＋nα1，则Akβ＝______________．

2. 求Anβ的一般步骤为：

第一步：求矩阵A的特征值λ和相应的特征向量α；

第二步：把向量β用特征向量α线性表示，即________________；

第三步：由公式Anβ＝____________________计算．

3. 你还有哪些体悟，写下来：

第13课　矩阵的简单应用

　基础诊断　

1. 　解析：由题设得＝，设A＝，则M＝A2，所以M＝＝.

2. 解析：设M＝，则M3＝＝，故星期四时订A便当同学的概率是.

　范例导航　

例1　解析：令β＝＝，M＝，则＝M，

由此可求得矩阵M的特征值λ1＝4，λ2＝－1，分别对应的一个特征向量为α1＝，α2＝.

假设β＝mα1＋nα2(m，n∈R)，解得m＝n＝2.

＝M＝M2＝…＝M20.

M20＝M20β＝M20(2α1＋2α2)＝2M20α1＋2M20α2，

即＝2×420＋2×(－1)20＝.　

因此，20个时段后，种群X，Y的数量分别约为242＋2和3×241－2.

解析：(1) 矩阵M的特征多项式为

f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)，

令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.

所以它们分别对应的一个特征向量为α1＝，

α2＝.

(2) 令β＝mα1＋nα2，

则有m＋n＝，

解得m＝2，n＝1，即β＝2α1＋α2，

所以M4β＝M4(2α1＋α2)＝2M4α1＋M4α2＝2λα1＋λα2＝2×14×＋24×＝.

同理可得，M10β＝，M100β＝.

(3) 当n很大时，可近似的认为

Mnβ＝Mn(2α1＋α2)≈Mnα2＝2n＝.

例2　解析：(1) 从第1个环节转出的信号中，0的个数为10 000×0.3＋5 000×0.8＝7 000，

1的个数为10 000×0.7＋5 000×0.2＝8 000.

(2) 数字错转的转移矩阵为A＝，1和0的个数对应列矩阵，于是最终接收端收到的信号中1，0个数对应矩阵A10，矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－1.5λ＋0.5＝(λ－1)(λ－0.5)．

令f(λ)＝0，得到矩阵A的特征值为1或0.5，

将1代入方程组

解得3x－2y＝0，不妨设x＝2，于是得到矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为.

同理，把λ＝0.5代入上述方程组得x＋y＝0，不妨设x＝1，可得矩阵A的属于特征值0.5的一个特征向量为.

设＝m＋n，

所以解得

所以A10＝3 000×110＋4 000×0.510＝≈，所以最终接收端收到的信号中0约有9 000个，1约有6 000个．

(3) 设修正器的转移矩阵为B＝(0<s<1，0<t<1)，则由题意有＝，于是，得到6s－9t＋4＝0.

因为0<s<1，0<t<1，

所以可取s＝，t＝，也就是说1转为0的概率为，0转为1的概率为.

注：第(3)问答案不唯一，只要满足方程6s－9t＋4＝0(0<s<1，0<t<1)的s，t均可．

解析：(1) 由An＋1＝An＋Bn，Bn＋1＝An＋Bn，得M＝.

(2) 由f(λ)＝λ2－λ＋＝0，得λ1＝1，λ2＝，属于λ1，λ2的一个特征向量分别为

α1＝，α2＝，

又＝＝200α1－300α2，

所以Mn＝200－300×＝.　

由此说明，若干周后，选择A，B两菜的人数分别稳定在600人和400人左右．

　自测反馈　

1. 解析：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3.

令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，分别对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.

令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3.

所以M6β＝M6(4α1－3α2)＝4(M6α1)－3(M6α2)＝4×36－3×(－1)6＝.

2. 解析：矩阵A的特征多项式为

f(λ)＝||＝(λ－1)(λ－4)＋2＝λ2－5λ＋6＝(λ－2)(λ－3)，

令f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，

当λ1＝2时，对应的一个特征向量为e1＝，

当λ2＝3时，对应的一个特征向量为e2＝，

令α＝me1＋ne2，解得m＝2，n＝1，即α＝2e1＋e2，

所以A5α＝A5×2e1＋A5e2＝25×2＋35＝＝.