2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第四章第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：

3.任意角的三角函数

[小题体验]

1．(2019·海门一中月考)若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在第________象限．

答案：一、三

2．(2018·南京调研)已知角α的终边过点P(－5,12)，则cos α＝________.

答案：－

3．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．

答案：1.2

1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．

4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α ＝，tan α＝.

[小题纠偏]

1．(2019·如皋模拟)－为第________象限角．

答案：二

2．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝(x≠0)，则sin α＝________.

答案：

 [题组练透]

1．(2019·海安模拟)若α是第二象限角，则是第______象限角．

解析：∵α是第二象限角，

∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，

∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.

当k为偶数时，是第一象限角；

当k为奇数时，是第三象限角．

故是第一或三象限角．

答案：一或三

2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．

解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：

β＝45°＋k×360°(k∈Z)，

则令－720°≤45°＋k×360°＜0°，

得－765°≤k×360°＜－45°，解得－≤k＜－，

从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.

答案：－675°或－315°

3．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________．

解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为.

答案：

4．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．

解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，故是第二或第四象限角．由＝－sin，知sin＜0，所以只能是第四象限角．

答案：四

[谨记通法]

1．终边在某直线上角的求法4步骤

(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；

(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；

(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；

(4)求并集化简集合．

2．确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤

(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；

(2)再写出kα或的范围；

(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置．

[题组练透]

1．(2019·盐城模拟)在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长为________．

解析：在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长l＝|α|r＝3×1＝3.

答案：3

2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．

解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，

则解得或

从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.

答案：1或4

3．如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．

解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为.

将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，

则弧度数变为＝3·，

即弧度数变为原来的3倍．

答案：3

[谨记通法]

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．

(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．

[锁定考向]

任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．常见的命题角度有：

(1)三角函数定义的应用；

(2)三角函数值的符号判定；

(3)三角函数线的应用．　　　 　

[题点全练]

角度一：三角函数定义的应用

1．(2019·淮安调研)已知角α的终边经过点(4，a)，若sin α＝，则实数a的值为________．

解析：∵角α的终边经过点(4，a)，∴sin α＝＝ ，

解得a＝3.

答案：3

2．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________.

解析：因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，

所以cos α＝＝－，解得x＝或x＝－(舍去)，

所以P，

所以sin α＝－，所以tan α＝＝，

则＋＝－＋＝－.

答案：－

角度二：三角函数值的符号判定

3．若sin αtan α＜0，且＜0，则点(cos α，－sin α)在第________象限．

解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，

则α为第二或第三象限角．

由＜0可知cos α，tan α异号，

则α为第三或第四象限角．

故α为第三象限角，

所以cos α＜0，－sin α＞0.

故点(cos α，－sin α)在第二象限．

答案：二

角度三：三角函数线的应用

4．(2018·汇龙中学测试)设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，给出以下不等式：

①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM.

其中正确的是________(填序号)．

解析：因为sin＝MP＞0，cos＝OM＜0，所以OM＜0＜MP.

答案：②

[通法在握]

定义法求三角函数的3种情况

(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．

(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

[演练冲关]

1．(2019·无锡调研)如图，已知点A为单位圆上一点，∠xOA＝，将点A沿逆时针方向旋转角α到点B，则sin 2α＝________.

解析：由题意可得，cos＝，α∈，

∴cos＝2cos2－1

＝2×－1＝－，即－sin 2α＝－，∴sin 2α＝.

答案：

2．(2018·扬州调研)在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A的坐标为(，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到点B，则点B的坐标为________．

解析：设B(x，y)，由题意知OA＝OB＝2，∠BOx＝60°，且点B在第一象限，所以x＝2cos 60°＝1，y＝2sin 60°＝，所以点B的坐标为(1，)．

答案：(1，)

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2019·如东模拟)与－600°终边相同的最小正角的弧度数是________．

解析：－600°＝－720°＋120°，与－600°终边相同的最小正角是120°，120°＝.

答案：

2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为________．

解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，所以α＝.

答案：

3．(2019·苏州期中)已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则＋＋＝________.

解析：圆心角θ＝＝2，∵＜2＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，tan θ＜0，

∴＋＋＝1－1－1＝－1.

答案：－1

4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.

解析：因为sin θ＝＝－，

所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.

答案：－8

5．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则m＝________.

解析：由题设知点P的横坐标x＝－，纵坐标y＝m，

所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，

即r＝.

所以sin α＝＝＝，

所以r＝＝2，

即3＋m2＝8，解得m＝±.

答案：±

6．已知集合M＝，N＝，则M，N之间的关系为 ________.

解析：kπ±＝(2k±1)·是的奇数倍，所以N⊆M.

答案：N⊆M

二保高考，全练题型做到高考达标

1．(2019·常州调研)若扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则该扇形圆心角的弧度数为________．

解析：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，

根据题意，有解得α＝2，r＝1.

故该扇形圆心角的弧度数为2.

答案：2

2．(2018·黄桥中学检测)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan 2α＝________.

解析：由三角函数的定义可得cos α＝.因为cos α＝x，所以＝x，又α是第二象限角，所以x＜0，解得x＝－3，所以cos α＝－，sin α＝＝，所以      tan α＝＝－，所以tan 2α＝＝.

答案：

3．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α＝________.

解析：因为r＝＝2，

由任意三角函数的定义，得sin α＝＝－cos 2.

答案：－cos 2

4．已知角2α的终边落在x轴上方，那么α是第________象限角．

解析：由题知2kπ＜2α＜π＋2kπ，k∈Z，所以kπ＜α＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α是第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．

答案：一或三

5．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．

解析：因为2 017°＝217°＋5×360°，

所以在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°.

答案：217°

6．(2019·淮安调研)已知α为第一象限角，sin α＝，则cos α＝________.

解析：∵α为第一象限角，sin α＝，∴cos α＝＝ ＝.

答案：

7．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．

解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，

则＝，所以α＝.

所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.

答案：

8．在(0,2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围为_____________．

解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈.

答案：

9．(2019·镇江中学高三学情调研)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按顺时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．

解析：由题意可得点Q的横坐标为cos＝，Q的纵坐标为sin＝－sin  ＝－，故点Q的坐标为.

答案：

10．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．

解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，

则r＝＝|k|.

当k＞0时，r＝k，

所以sin α＝＝－，＝＝，

所以10sin α＋＝－3＋3＝0；

当k＜0时，r＝－k，

所以sin α＝＝，＝＝－，

所以10sin α＋＝3－3＝0.

综上，10sin α＋＝0.

11．已知扇形AOB的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

(1)由题意可得解得或

所以α＝＝或α＝＝6.

(2)法一：因为2r＋l＝8，

所以S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，

当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.

所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.

法二：因为2r＋l＝8，

所以S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，

当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.

所以弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．

解析：如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．根据题意得劣弧D＝2，故∠DCP＝2弧度，则在△PCQ中，∠PCQ＝弧度，CQ＝cos＝sin 2，PQ＝sin＝－cos 2，所以P点的横坐标为2－CQ＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋PQ＝1－cos 2，所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量的坐标．

答案：(2－sin 2,1－cos 2)

2．已知sin α＜0，tan α＞0.

(1)求α角的集合；

(2)求终边所在的象限；

(3)试判断 tansin cos的符号．

解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；

由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，

其集合为.

(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，

故终边在第二、四象限．

(3)当在第二象限时，tan ＜0，sin ＞0, cos ＜0，

所以tan sin cos取正号；

当在第四象限时， tan＜0，sin＜0, cos＞0，

所以 tansincos也取正号．

因此，tansin cos 取正号．