2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
展开第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：
sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：
tan α＝.
2．诱导公式
组序 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | 2kπ＋α(k∈Z) | π＋α | －α | π－α | －α | ＋α |
正弦 | sin α | －sin α | －sin α | sin α | cos α | cos_α |
余弦 | cos α | －cos α | cos α | －cos_α | sin α | －sin α |
正切 | tan α | tan α | －tan α | －tan_α |
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口诀 | 函数名不变符号看象限 | 函数名改变符号看象限 | ||||
记忆规律 | 奇变偶不变，符号看象限 | |||||
[小题体验]
1．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝______.
答案：－
2．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值为________．
答案：2
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
[小题纠偏]
1．(2019·盐城期中)已知tan(π－α)＝，α是第四象限角，则sin α＝________.
解析：因为tan(π－α)＝，所以tan α＝－，
因为sin2 α＋cos2α＝1，α是第四象限角，
所以sin α＝－.
答案：－
2．化简：＝________.
解析：原式＝＝|sin 2－cos 2|，因为sin 2＞0，cos 2＜0，所以原式＝sin 2－cos 2.
答案：sin 2－cos 2
[题组练透]
1．(2019·启东调研)sin·cos·tan的值是________．
解析：原式＝sin·cos·tan＝－sin··＝－××(－)＝－.
答案：－
2．(2018·镇江中学测试)求值：sin ＋cos＝________.
解析：sin ＋cos＝sin＋cos＝sin＋cos ＝sin ＋ cos ＝.
答案：
3．已知tan＝，则tan＝________.
解析：tan＝tan＝tan＝－tan＝－.
答案：－
4．(易错题)设f(α)＝，则f＝________.
解析：因为f(α)＝
＝
＝
＝，
所以f＝
＝＝＝.
答案：
[谨记通法]
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
[典例引领]
1．(2019·昆山一模)已知α∈，tan α＝3，则sin2α＋2sin αcos α＝________.
解析：∵α∈，tan α＝3，
∴sin2α＋2sin αcos α＝
＝＝＝.
答案：
2．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两个根，则m＝________.
解析：由题意得sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝，
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ，所以＝1＋，
解得m＝1±，
又Δ＝4m2－16m≥0，解得m≤0或m≥4，所以m＝1－.
答案：1－
[由题悟法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 | 解读 | 适合题型 |
切弦互化 | 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 | 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ |
“1”的变换 | 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ | 表达式中需要利用“1”转化 |
和积转换 | 利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 | 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ |
[即时应用]
1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝________.
解析：法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－.
法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－.
答案：－
2．(2019·苏州调研)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ的值为________．
解析：∵sin θ＋cos θ＝， ①
两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－，
又θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，
∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θ－cos θ＝， ②
由①②得sin θ＝，cos θ＝－.
∴tan θ＝－.
答案：－
[锁定考向]
同角三角函数关系与诱导公式一般不单独考查，常相结合命题，主要考查三角函数值的计算．
常见的命题角度有：
(1)由同角关系求值；
(2)由角的三角函数值求值；
(3)由角的关系式求值．
[题点全练]
角度一：由同角关系求值
1．(2018·玄武高中检测)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则＝________.
解析：由已知得sin α＝－.因为α是第三象限角，
所以cos α＝－＝－.
所以原式＝＝＝.
答案：
角度二：由角的三角函数值求值
2．(2018·启东调研)如图，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴的正半轴的交点，A点的坐标为，∠AOB＝90°.
(1)求cos∠COA；
(2)求tan∠COB.
解：(1)因为A点的坐标为，
根据三角函数的定义可得cos∠COA＝.
(2)因为∠AOB＝90°，sin∠COA＝，
所以cos∠COB＝cos(∠COA＋90°)＝－sin∠COA＝－.
又点B在第二象限，所以sin∠COB＝＝，
故tan∠COB＝＝－.
角度三：由角的关系式求值
3．(2019·滨海模拟)已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P，
得2＋y2＝1，y＜0，解得y＝－.
∴tan θ＝＝－.
(2)∵tan θ＝－，
∴＝＝＝＝2－.
[通法在握]
求值问题的一般解题步骤
(1)将已知条件或所求式子利用诱导公式进行化简；
(2)从已知条件中结合三角函数关系得出需要的结论；
(3)代入化简后的所求式子，得出最后的结论．
[演练冲关]
(2019·镇江中学测试)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，.求下列各式的值：
(1)sin α－cos α；
(2)sin2－cos2.
解：(1)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝.①
将①式两边平方，得1＋2sin αcos α＝.
所以2sin αcos α＝－.
又＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α＞0，
所以(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝＋＝，所以sin α－cos α＝.
(2)sin2－cos2＝cos2α－sin2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝×＝.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若α∈，sin α＝－，则cos(－α)＝________.
解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos(－α)＝.
答案：
2．(2019·镇江调研)已知α是第二象限角，cos＝，则tan α＝________.
解析：∵α是第二象限角，cos＝sin α＝，
∴cos α＝－＝－，
则tan α＝＝－.
答案：－
3．(2018·江苏百校联盟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos＝________.
解析：由题意可得tan α＝2，
所以cos＝－sin 2α＝＝＝－.
答案：－
4．(2018·扬州期末)若点P(3cos θ，sin θ)在直线l：x＋y＝0上，则tan θ＝________.
解析：∵点P(3cos θ，sin θ)在直线l：x＋y＝0上，
即3cos θ＋sin θ＝0，
∴sin θ＝－3cos θ，
∴tan θ＝＝－3.
答案：－3
5．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．
解析：因为sin(π＋A)＝，所以－sin A＝.
所以cos＝－sin A＝.
答案：
6．若sin θ＋cos θ＝，则tan θ＋＝________.
解析：由sin θ＋cos θ＝，得1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－，
则tan θ＋＝＋＝＝－.
答案：－
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·启东中学高三检测)已知α∈，tan(α－π)＝－，则sin α＋cos α的值是________．
解析：已知tan(α－π)＝tan α＝－，又α∈，
所以sin α＝，cos α＝－，所以sin α＋cos α＝－.
答案：－
2．已知sin＝，则cos＝________.
解析：因为cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
答案：－
3．(2018·如东中学调研)若f(x)＝sin＋1，且f(2 018)＝2，则f(2 019)＝________.
解析：因为f(2 018)＝sin＋1＝sin(1 009π＋α)＋1＝－sin α＋1＝2，所以 sin α＝－1，cos α＝0.所以f(2 019)＝sin＋1＝sin＋1＝－cos α＋1＝1.
答案：1
4．(2019·苏州调研)当θ为第二象限角，且sin＝时，＝________.
解析：因为sin＝，所以cos＝，
所以在第一象限，且cos ＜sin，
所以＝＝－1.
答案：－1
5．计算：＝________.
解析：原式＝
＝
＝
＝.
答案：
6．已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin αcos α＝______.
解析：因为sin(3π－α)＝－2sin，
所以sin α＝－2cos α，
所以tan α＝－2，
所以sin αcos α＝
＝＝＝－.
答案：－
7．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α ＝________.
解析：原式＝cos α＋sin α ＝cos α·＋sin α·，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，
所以原式＝＋＝－1＋1＝0.
答案：0
8．(2019·淮安调研)若tan α＋＝，α∈，则的值为________．
解析：∵tan α＋＝，α∈，
∴tan α＝2或tan α＝(舍去)，
∴＝
＝＝＝.
答案：
9．(2019·如东模拟)(1)化简：
；
(2)已知cos＝a，求cos＋sin的值．
解：(1)原式＝ ＝1.
(2)∵cos＝a，∴cos＋sin
＝－cos＋sin＝－a＋cos
＝－a＋a＝0.
10．已知－＜α＜0，且函数f(α)＝cos－sin α·－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值．
解：(1)f(α)＝sin α－sin α·－1＝sin α＋sin α·－1＝sin α＋cos α.
(2)法一：由f(α)＝sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
即2sin αcos α＝－.
所以sin αcos α＝－.
因为2＝1－2sin αcos α＝，
又－＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，
所以sin α－cos α＜0，所以sin α－cos α＝－.
法二：联立方程解得或
因为－＜α＜0，所以
所以sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－.
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1．(2018·淮安高三期中)已知sin α＝cos ，0＜α＜π，则α的取值集合为________．
解析：由sin α＝cos，得cos＝cos ，
因为0＜α＜π，所以－＜－α＜，所以－α＝±，
所以α＝或，所以α的取值集合为.
答案：
2．(2019·通州模拟)如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值是________．
解析：由图可知，每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，
∵小正方形的面积是，∴(cos θ－sin θ)2＝，
又θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cos θ＞sin θ，∴cos θ－sin θ＝.
又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝.
∴(cos θ＋sin θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴cos θ＋sin θ＝.
∴sin2θ－cos2θ＝(sin θ－cos θ)(cos θ＋sin θ)
＝－×＝－.
答案：－
3．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f＋f的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f＋f
＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
