2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第九章第一节直线与方程

第一节直线与方程


1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用

[小题体验]
1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
答案：1
2．已知a≠0，直线ax＋my－5m＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________．
答案：2
3．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.
解析：令x＝0，则l在y轴的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋.依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.
答案：1或－2

1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．
3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．
[小题纠偏]
1．若直线l经过点A(1,2)，且倾斜角是直线y＝x＋3的倾斜角的2倍，则直线l的方程为____________．
解析：因为直线y＝x＋3的倾斜角为α＝45°，所以所求直线l的倾斜角为2α＝90°，所以直线l的方程为x＝1.
答案：x＝1
2．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．
解析：①若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，
即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点．
设＋＝1，即x＋y＝a.
则a＝3＋(－4)＝－1，
所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
　
[题组练透]
1．(2019·启东中学检测)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是________．
解析：直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
答案：x＋y＋1＝0
2．(2018·绥化一模)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．
解析：因为直线xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是∪.
答案：∪
3．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4
4．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝，kPA＝－2，kl＝－.
结合图象知，若直线l与PQ有交点，
应满足－≤－2或－≥.
解得0＜m≤或－≤m＜0；
当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．
所以实数m的取值范围为.
答案：
[谨记通法]
1．倾斜角α与斜率k的关系
当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.
当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．
2．斜率的2种求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
　
[典例引领]
(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，
设所求直线方程为＋＝1，
将(－5,2)代入所设方程，
解得a＝－，
所以直线方程为x＋2y＋1＝0；
当直线过原点时，
设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，
解得k＝－，
所以直线方程为y＝－x，
即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
[由题悟法]
求直线方程的2个注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．

[即时应用]
1．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________．
解析：设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线方程为＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0
2．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．
解析：设C(x0，y0)，则M，N.
因为点M在y轴上，所以＝0，所以x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以＝0，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，
所以M，N(1,0)，
所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0.
答案：5x－2y－5＝0
　
[锁定考向]
直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．
常见的命题角度有：
(1)与基本不等式相结合的最值问题；
(2)与导数的几何意义相结合的问题；
(3)与圆相结合求直线方程的问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：与基本不等式相结合的最值问题
1．(2019·如皋检测)过点P(2,1)的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点．
(1)当OA·OB最小时，求直线l的方程；
(2)当2OA＋OB最小时，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B(0,1－2k)两点．
(1)OA·OB＝·(1－2k)＝4＋(－4k)＋≥4＋2＝8，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时取得最小值8.
故当OA·OB最小时，所求直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)2OA＋OB＝2＋(1－2k)＝5＋＋(－2k)≥5＋2 ＝9，
当且仅当－＝－2k，即k＝－1时取得最小值9.
故当2OA＋OB最小时，所求直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.
角度二：与导数的几何意义相结合的问题
2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为________．
解析：由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，
则k＝2x0＋2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0≤k≤1，
即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.
答案：
角度三：与圆相结合求直线方程的问题
3．(2018·徐州调研)已知点P是圆O：x2＋y2＝4上的动点，点A(4,0)，若直线y＝kx＋1上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，求实数k的取值范围．
解：设P(2cos θ，2sin θ)，
则AP的中点坐标为Q(cos θ＋2，sin θ)，
因为点Q在直线y＝kx＋1上，
所以sin θ＝k(cos θ＋2)＋1，即k＝，
即k表示单位圆上的点(cos θ，sin θ)与点(－2,1)连线的斜率．
设过点(－2,1)的直线方程为y－1＝k(x＋2)，
若要满足题意，则圆心到直线kx－y＋2k＋1＝0的距离d＝≤1，解得k∈.

[通法在握]
处理直线方程综合应用的思路
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
[演练冲关]
1．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
解析：由已知画出简图，如图所示．
因为l1：ax－2y＝2a－4，
所以当x＝0时，y＝2－a，
即直线l1与y轴交于点A(0,2－a)．
因为l2：2x＋a2y＝2a2＋4，
所以当y＝0时，x＝a2＋2，
即直线l2与x轴交于点C(a2＋2,0)．
易知l1与l2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B(2,2)．
则四边形AOCB的面积为S＝S△AOB＋S△BOC＝(2－a)×2＋(a2＋2)×2＝2＋≥.
所以Smin＝，此时a＝.
答案：
2．已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0＜x0＋2，求的取值范围．
解：依题意可得＝，化简得x0＋3y0＋2＝0，又y0＜x0＋2，kOM＝，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M位于线段AB(不包括端点)上时，kOM＞0，当点M位于射线BN上除B点外时，kOM＜－.
所以的取值范围是∪(0，＋∞)．


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·南通模拟)将直线y＝2x绕原点逆时针旋转，则所得直线的斜率为________．
解析：设直线y＝2x的倾斜角是α，则tan α＝2，将直线y＝2x绕原点逆时针旋转，则倾斜角变为α＋，
∴所得直线的斜率k＝tan＝＝－3.
答案：－3
2．(2018·南通中学月考)过点P(－2,4)且斜率k＝3的直线l的方程为________．
解析：由题意得，直线l的方程为y－4＝3[x－(－2)]，即3x－y＋10＝0.
答案：3x－y＋10＝0
3．若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是________．
解析：解方程组得
因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，
所以k＋6＞0且k＋2＜0，所以－6＜k＜－2.
答案：(－6，－2)
4．(2018·南京名校联考)曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．
解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，
因为y′＝3x2－1≥－1，所以tan θ≥－1，
结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为∪.
答案：∪
5．(2019·无锡模拟)已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，若这条直线不经过第二象限，则实数a的取值范围是________．
解析：若a－2＝0，即a＝2时，直线方程可化为x＝，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a－2≠0，直线方程可化为y＝x－，此时若直线不经过第二象限，
则≥0，≥0，解得a＞2.
综上，满足条件的实数a的取值范围是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
6．(2018·南京调研)已知函数f(x)＝asin x－bcos x，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为________．
解析：由f＝f知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，
所以－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率为＝－1，故其倾斜角为.
答案：
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1．(2019·泰州模拟)倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是________．
解析：由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝ －(x＋1)，即x＋y＋＝0.
答案：x＋y＋＝0
2．(2018·泗阳中学检测)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________．
解析：设P(x,1)，Q(7，y)，则＝1，＝－1，所以x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率k＝＝－.
答案：－
3．(2019·苏州调研)已知θ∈R，则直线xsin θ－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．
解析：设直线的倾斜角为 α，则tan α＝sin θ，
∵－1≤sin θ≤1，∴－≤tan α≤，
又α∈[0，π)，∴0≤α≤或≤α＜π.
答案：∪
4．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则实数k的取值范围是________．
解析：y＝k(x＋1)是过定点P(－1,0)的直线，kPB＝0，kPA＝＝1，
所以实数k的取值范围是[0,1]．
答案：[0,1]
5．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．
解析：因为点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，所以y＝4－x，所以x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8.
答案：8
6．(2019·南京模拟)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．
解析：若直线的截距不为0，可设为＋＝1，把P(2,3)代入，得＋＝1，a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
若直线的截距为0，可设为y＝kx，把P(2,3)代入，得3＝2k，k＝，直线方程为3x－2y＝0.
综上，所求直线方程为x＋y－5＝0或3x－2y＝0.
答案：x＋y－5＝0或3x－2y＝0
7．已知直线l：y＝kx＋1与两点A(－1,5)，B(4，－2)，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是______________．
解析：易知直线l：y＝kx＋1的方程恒过点P(0,1)，
如图，∵kPA＝－4，kPB＝－，
∴实数k的取值范围是(－∞，－4]∪.
答案：(－∞，－4]∪
8．若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．
解析：由直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点(1,2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)·＝3＋＋，因为＋≥2＝2，所以a＋b≥3＋2，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2.
答案：3＋2
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，
它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，所以b＝±1.
所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．已知直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若直线l的斜率不存在，求实数m的值；
(3)若直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值；
(4)若直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．
解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；
令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝.
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)由(1)易知，当m＝时，方程表示的直线的斜率不存在．
(3)依题意，有＝－3，所以3m2－4m－15＝0，
所以m＝3或m＝－，由(1)知所求m＝－.
(4)因为直线l的倾斜角是45°，所以斜率为1.
由－＝1，解得m＝或m＝－1(舍去)．
所以直线l的倾斜角为45°时，m＝.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·无锡期末)过点(2,3)的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB(O为坐标原点)面积最小时，直线l的方程为________________．
解析：设直线l的斜率为k，且k＜0，所以直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.令x＝0，得y＝3－2k，所以B(0，3－2k)；令y＝0，得x＝2－，所以A.则△AOB的面积为S＝(3－2k)＝≥＝12，当且仅当－＝－4k，即k＝－时等号成立，所以直线l的方程为3x＋2y－12＝0.
答案：3x＋2y－12＝0
2．已知曲线y＝，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
解析：y′＝＝，因为ex＞0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，所以ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当且仅当x＝0时取等号)．
所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝×2×＝.
答案：
3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是.
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
所以A，B(0,1＋2k)．
又－＜0且1＋2k＞0，所以k＞0.
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.