2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第四章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；

tan(α±β)＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin_αcos_α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝.

[小题体验]

1．已知sin＝，－＜α＜0，则cos＝______.

答案：－

2．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．

答案：

3．已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________.

答案：

4．化简：＝________.

解析：＝

＝＝4sin α.

答案：4sin α

1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．

2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．

[小题纠偏]

1．已知sin 2α＝，则cos2＝________.

答案：

2．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝________.

解析：由已知可得＝，即tan(α＋β)＝.

又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.

答案：

　对应学生用书P48

[题组练透]

1．(2018·苏州期末)若tan＝－，则sin αcos α＝________.

解析：∵tan＝－，

∴tan α＝tan＝＝＝，

∴sin αcos α＝＝＝＝.

答案：

2．(2018·海安高三学业质量测试)已知cos α＝，α∈，则sin＝________.

解析：因为cos α＝，α∈，所以sin α＝，

则sin＝sin α＋cos α＝.

答案：

3．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．

解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈，

∴cos α＝－，∴sin α＝，tan α＝－，

∴tan 2α＝＝＝.

答案：

[谨记通法]

三角公式的应用策略

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

　对应学生用书P49

[典例引领]

1．(2019·汇龙中学检测)计算： ＝________.

解析：＝＝

＝＝＝－4.

答案：－4

2．已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝________.

解析：由sin θ－cos θ＝－得sin＝，

因为θ∈，所以0＜－θ＜，

所以cos＝.

＝＝＝＝2cos＝.

答案：

[由题悟法]

1．三角函数公式活用技巧

(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．

(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．

2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题

(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．

(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．

[即时应用]

1．(2018·启东中学测试)＝________.

解析：＝＝＝＝.

答案：

2．(2019·南京四校联考)已知cos＋sin α＝，则sin＝________.

解析：由cos＋sin α＝，

可得cos α＋sin α＋sin α＝，

即sin α＋cos α＝，

所以sin＝，sin＝，

所以sin＝－sin＝－.

答案：－

　对应学生用书P49

[典例引领]

(2019·镇江模拟)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α－β)＝.

(1)求tan 2α；

(2)求β.

解：(1)∵α为锐角，cos α＝，

∴sin α＝＝，则tan α＝＝4.

∴tan 2α＝＝－.

(2)∵α，β为锐角，∴－＜α－β＜，

又sin(α－β)＝，∴cos(α－β)＝＝.

∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，

∴β＝.

[由题悟法]

1．利用角的变换求三角函数值的策略

(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

2．角变换的几个注意点

明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．

[即时应用]

1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan＝________.

解析：tan＝tan

＝＝＝.

答案：

2．(2018·扬州高三期末)已知cos＝，则sin(π＋α)＝________.

解析：因为cos＝，所以＜＋α＜，故sin＝ ＝，所以sin(π＋α)＝sin＝sincos ＋cossin ＝×＋×＝.

答案：

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1．(2019·无锡调研)已知sin(α＋30°)＝，60°＜α＜150°，则cos α＝________.

解析：∵60°＜α＜150°，∴90°＜α＋30°＜180°，

∵sin(α＋30°)＝，

∴cos(α＋30°)＝－＝－，

∴cos α＝cos[(α＋30°)－30°]

＝cos(α＋30°)cos 30°＋sin(α＋30°)sin 30°

＝－×＋×＝.

答案：

2．若2sin＝3sin(π－θ)，则tan θ＝________.

解析：由已知得sin θ＋cos θ＝3sin θ，

即2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝.

答案：

3．(2018·苏锡常镇调研)若tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝________.

解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β)＝－

＝－＝－.

答案：－

4．(2019·泰州调研)已知α∈(0，π)，sin＝－，则tan α＝________.

解析：因为α∈(0，π)，sin＝－，所以α＋∈，所以cos＝         － ＝－，所以tan＝＝＝，所以tan α＝－.

答案：－

5．(2018·常州模拟)已知cos(θ＋π)＝－，则sin＝________.

解析：cos(θ＋π)＝－，所以cos θ＝，sin＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.

答案：－

6．(2018·江苏太湖高级中学检测)设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．

解析：由题可知，tan α＝＝2，

所以tan 2α＝＝－.

答案：－

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1．(2019·无锡一中检测)已知sin＝，则sin＋tan2＝________.

解析：∵sin＝，

∴cos2＝1－sin2＝，

且sin＝sin＝sin＝，

∴sin＋tan2＝＋

＝＋＝＋＝.

答案：

2．(2018·苏州暑假测试)已知α∈，β∈，cos α＝，sin(α＋β)＝－，则     cos β＝________.

解析：因为α∈，cos α＝，所以sin α＝.又α＋β∈，sin(α＋β)＝－＜0，所以α＋β∈，故cos(α＋β)＝－，从而cos β＝cos＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×－×＝－.

答案：－

3．已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________.

解析：由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，

所以sin2＝＝＝＝.

答案：

4．(2018·通州模拟)已知P(2，m)为角α终边上一点，且tan＝，则sin α＝________.

解析：∵P(2，m)为角α终边上一点，∴tan α＝，

再根据tan＝＝＝，∴m＝－1，

故x＝2，y＝－1，r＝|OP|＝＝，

则sin α＝＝＝－.

答案：－

5．已知sin＝，cos 2α＝，则sin α＝________.

解析：由sin＝得sin α－cos α＝. ①

由cos 2α＝得cos2α－sin2α＝，

所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝.        ②

由①②可得cos α＋sin α＝－.              ③

由①③可得sin α＝.

答案：

6．(2019·如东模拟)已知α∈，且2cos α＝cos，则sin 2α的值为________．

解析：∵α∈，且2cos α＝cos＝sin α，

∴tan α＝2，

则sin 2α＝＝＝.

答案：

7．(2019·启东模拟)若sin α＋cos α＝，则cos2＝________.

解析：由sin α＋cos α＝，可得sin 2α＝，

故cos2＝＝＝.

答案：

8．(2018·苏锡常镇调研)已知sin α＝3sin，则tan＝________.

解析：由题意可得sin＝3sin，

即sincos －cossin ＝3sin·cos ＋3cossin ，

所以tan＝－2tan ＝－2tan＝－＝2－4.

答案：2－4

9.(2019·南京调研)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧上(异于点P，Q)，过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C.记∠AOB＝θ，四边形ACOB的周长为l.

(1)求l关于θ的函数关系式；

(2)当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值．

解：(1)在Rt△OAB中，∵OA＝1，∠AOB＝θ，

∴OB＝cos θ，AB＝sin θ.

在Rt△OAC中，∵∠POQ＝，∴∠AOC＝－θ，

∴OC＝cos，AC＝sin.

∴l＝sin θ＋cos θ＋sin＋cos

＝sin θ＋cos θ＋＋

＝sin θ＋cos θ

＝(＋1)

＝(＋1)sin，θ∈.

(2)由(1)知，l＝(＋1)sin，

∵θ∈，∴θ＋∈，

∴当θ＋＝，即θ＝时，l取得最大值＋1.

10．(2018·盐城调研)已知函数f(x)＝sin，x∈R.

(1)求f的值；

(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．

解：(1)f＝sin＝sin＝－.

(2)f＝sin

＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．

因为cos θ＝，θ∈，

所以sin θ＝，

所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，

所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)

＝×＝.

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1．(2019·南通模拟)已知cos＝3sin，则tan＝________.

解析：由cos＝3sin＝－3sin，

得sin α＝3sin，

∴sin＝3sin，

展开得sincos－cossin

＝3sincos＋3cossin，

即－2sincos＝4cossin，

∴tan＝－2tan.

又tan＝tan＝＝2－，

∴tan＝－2(2－)＝2－4.

答案：2－4

2．(2018·苏北四市一模)若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝，则sin(α－β)的值为________．

解析：因为tan β＝2tan α，所以＝，即cos αsin β＝2sin αcos β.

又因为cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，

从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－.

答案：－

3．(2019·海门中学检测)已知coscos＝－，α∈.

(1)求sin 2α的值；

(2)求tan α－的值．

解：(1)coscos

＝cossin

＝sin＝－，

即sin＝－.

因为α∈，所以2α＋∈，

所以cos＝－，

所以 sin 2α＝sin

＝sincos－cossin＝.

(2)因为α∈，

所以2α∈，

又由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－.

所以tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.