2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第9章第2节　随机抽样

第二节　随机抽样

[考纲传真]　1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法.4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题．

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．

2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

(1)先将总体的N个个体编号．

(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k＝，当不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k＝(N′为从总体中剔除余数后的总数)．

(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．

(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围

当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

[常用结论]

1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．

2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．

3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　　)

(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．(　　)

(3)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(　　)

(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．从50份高三学生期中考试试卷中随机抽出15份进行教研分析，则下列说法正确的是(　　)

A．15名学生是样本　　　 B．50名学生是总体

C．样本容量是15   D．样本容量是50

C　[本题考查简单随机抽样的概念．样本容量是15.故选C.]

3．某学校为了了解高中一年级、二年级、三年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)

A．抽签法   B．系统抽样法

C．分层抽样法   D．随机数法

C　[总体由差异明显的几部分组成，故最合理的抽样方法是分层抽样法．故选C.]

4．(教材改编)某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是(　　)

A．10   B．11

C．12   D．16

D　[由题意可知，分段间隔k＝＝13，

∴样本中还有一个学生的学号为3＋13＝16，故选D.]

5．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．

18　[∵＝＝，

∴应从丙种型号的产品中抽取×300＝18(件)．]

简单随机抽样

1．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；

③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．

A．0　　　　 B．1

C．2   D．3

A　[①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．故选A.]

2．总体由编号为01,02,03，…，49,50的50个个体组成，利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为(　　)

66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90

57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 83 20 37 90

A．05   B．09

C．11   D．20

B　[从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，符合条件的数有14,05,11,05,09因为05出现了两次，所以选出来的第4个个体的编号为09.故选B.]

3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[根据题意得，＝，解得n＝28.故每个个体被抽到的概率为＝.]

系统抽样

【例1】　采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A，编号落入区间[401,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为(　　)

A．12   B．13

C．14   D．15

A　[根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d＝＝20的等差数列{an}，∴通项公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1 000，得≤n≤，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，

∴做问卷C的共有12人，故选A.]

(1)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽取的数是(　　)

A．5   B．7

C．11   D．13

(2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．

(1)B　(2)4　[(1)把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组．所以第1组抽到的数为39－32＝7.

(2)依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一人．

成绩在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人．]

分层抽样

【例2】　(1)某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是(　　)

A．7,11,18   B．6,12,18

C．6,13,17   D．7,14,21

(2)一支田径队有男运动员56人，女运动员m人，用分层抽样抽出一个容量为n的样本，在这个样本中随机取一个当队长的概率为，且样本中的男队员比女队员多4人，则m＝________.

(1)D　(2)42　[(1)因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按＝的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是7,14,21.故选D.

(2)由题意知n＝28，设其中有男队员x人，女队员有y人．

则解得x＝16，y＝12，m＝42.]

(1)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的问卷调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷数是(　　)

A．40   B．50

C．60   D．70

(2)已知某地区中学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．

图1 　　　　图2

(1)C　(2)200,20　[(1)由题意依次设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，在D单位抽取的问卷数为n，则有＝，解得a2＝200，又a1＋a2＋a3＋a4＝1 000，即3a2＋a4＝1 000，所以a4＝400，所以＝，解得n＝60.

(2)样本容量为(3 500＋2 000＋4 500)×2%＝200，抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.]