2020高考物理新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第四章第23课时　圆周运动的描述（双基落实课）

第23课时　圆周运动的描述(双基落实课)
点点通(一)　圆周运动的基本概念
1．描述圆周运动的物理量

定义和意义
公式和单位
线速度
(1)描述物体沿圆周运动快慢的物理量(v)
(2)是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
(1)v＝＝
(2)单位：m/s
角速度
(1)描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(2)矢量，中学不研究其方向
(1)ω＝＝
(2)单位：rad/s
周期
和转速
(1)周期是物体沿圆周运动一周的时间(T)
(2)转速是物体在单位时间转过的圈数(n)，也叫频率(f)
(1)T＝，单位：s
(2)f＝，单位：Hz
(3)n的单位：r/s、r/min
向心
加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)矢量，方向指向圆心
(1)an＝＝ω2r
(2)单位：m/s2
相互
关系
(1)v＝ωr＝＝2πrf
(2)an＝＝ω2r＝＝4π2f2r＝ωv
2．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等。
(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
3．非匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，但线速度大小发生变化。
(2)合力的作用
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的大小。
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的方向。
[小题练通]
1.(多选)(粤教教材改编题)如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图像可以知道(　　)
A．甲球运动时，线速度的大小保持不变
B．甲球运动时，角速度的大小保持不变
C．乙球运动时，线速度的大小保持不变
D．乙球运动时，角速度的大小保持不变
解析：选AD　由题图可知，甲图线中a与r成反比，则由向心加速度公式a＝可知，甲球的线速度大小不变，根据v＝rω 知，随r变化角速度大小发生变化，故A正确，B错误；乙图线中a与r成正比，则由向心加速度公式a＝ω2r可知，乙球运动的角速度大小保持不变，根据v＝rω知，随r变化线速度大小发生变化，故C错误，D正确。
2．(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则(　　)
A．角速度为0.5 rad/s　　　 B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
解析：选BCD　角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；轨迹半径为r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π m/s2，D正确。
3.(2019·台州模拟)汽车后备箱盖一般都配有可伸缩的液压杆，其示意图如图所示，可伸缩的液压杆上端固定于后盖上A点，下端固定于箱内O′点，B也为后盖上一点，后盖可绕过O点的固定铰链转动，在合上后备箱盖的过程中(　　)
A．A点相对O′点做圆周运动
B．A点与B点相对于O点转动的线速度大小相等
C．A点与B点相对于O点转动的角速度大小相等
D．A点与B点相对于O点转动的向心加速度大小相等
解析：选C　在合上后备箱盖的过程中，O′A的长度是变化的，因此A点相对O′点不是做圆周运动，故选项A错误；在合上后备箱盖的过程中，A点与B点都是绕O点做圆周运动，相同的时间绕O点转过的角度相同，即A点与B点相对O点的角速度大小相等，但是OB的长度大于OA的长度，根据v＝rω，可知B点相对于O点转动的线速度大，故选项B错误，C正确；根据向心加速度公式a＝rω2，可知B点相对O点的向心加速度大于A点相对O点的向心加速度，故选项D错误。
[融会贯通]
判断匀速圆周运动中a、v、ω、r、n、T之间是否成正比或反比关系时，首先要明确不变量，再结合关系式进行判断，用到了控制变量法的思想。
点点通(二)　几类常见的传动装置
1．传动装置的分类
主要有四种：(1)同轴传动如图甲所示；(2)皮带传动如图乙所示；(3)齿轮传动如图丙所示；(4)摩擦传动如图丁所示。

2．传动装置的特点
(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同。
(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
[小题练通]
1.(多选)(2019·丹东质检)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6。当齿轮转动的时候，下列关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点的说法正确的是(　　)
A．A点和B点的线速度大小之比为 1∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的角速度之比为3∶1
D．A点和B点的线速度大小之比为3∶1
解析：选AC　题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，即A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可得，线速度一定时，角速度与半径成反比，故A点和B点角速度之比为3∶1，选项A、C正确，B、D错误。
2.机动车检测站进行车辆尾气检测原理如下：车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，可在原地沿前进方向加速，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员把车加速到一定程度，持续一定时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数。现有检测过程简图如图所示：车轴A的半径为ra，车轮B的半径为rb，滚动圆筒C的半径为rc，B与C间不打滑。当B以恒定转速n(每秒钟n转)运行时，下列说法正确的是(　　)
A．C的边缘线速度大小为2πnrc
B．A、B的角速度大小相等，均为2πn，且A、B沿顺时针方向转动，C沿逆时针方向转动
C．A、B、C的角速度大小相等，均为2πn，且均沿顺时针方向转动
D．B、C的角速度之比为
解析：选B　由v＝2πnR可知，B的线速度大小为vb＝2πnrb，B、C线速度大小相同，即C的线速度大小为vc＝vb＝2πnrb，B、C角速度与半径成反比，A、D错误；A、B为主动轮，且同轴，角速度大小相等且为2πn，C为从动轮，A、B顺时针方向转动，C逆时针方向转动，B正确，C错误。
3．风速仪结构如图(a)所示。光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。已知风轮叶片转动半径为 r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片(　　)

A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
解析：选B　根据题意，从题图(b)可以看出，在Δt时间内，探测器接收到光的时间在增长，凸轮圆盘的挡光时间也在增长，可以确定凸轮圆盘的转速在减小，则风轮叶片转速逐渐减小；在Δt时间内可以看出有4次挡光，即凸轮圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n周，风轮叶片转过的弧长为l＝4n×2πr，叶片转动平均速率为：v＝，故选项B正确。
点点通(三)　向心力的理解和计算
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力。
3．向心力的公式
Fn＝man＝m＝mω2r＝mr·＝mr·4π2f2＝mωv。
4．匀速圆周运动的条件
当物体所受的合外力大小恒定，且始终与速度方向垂直时，物体做匀速圆周运动，此时向心力由物体所受合外力提供。


[小题练通]
1.(多选)如图所示为花样滑冰双人自由滑比赛的情形。男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若男运动员转速为30 r/min，手臂与竖直方向夹角约为60°，女运动员质量是50 kg，她触地冰鞋的线速度为 4.7 m/s。则下列说法正确的是(　　)
A．女运动员做圆周运动的角速度为π rad/s
B．女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径约为2 m
C．男运动员手臂拉力约是850 N
D．男运动员手臂拉力约是500 N
解析：选AC　由题意可知，男、女运动员的转速相同，转速n＝30 r/min＝0.5 r/s，由公式ω＝2πn，解得ω＝π rad/s，故A正确；由v＝ωr得r＝＝ m≈1.5 m，故B错误；对女运动员研究可知，其在竖直方向上受力平衡，拉力的水平分力提供向心力，则有Fsin 60°＝m，解得F≈850 N，故C正确，D错误。
2．(多选)在光滑圆锥形容器中，固定了一根光滑的竖直细杆，细杆与圆锥的中轴线重合，细杆上穿有小环(小环可以自由转动，但不能上下移动，未画出)，小环上连接一轻绳，与一质量为m的光滑小球相连，让小球在圆锥内做水平面上的匀速圆周运动，并与圆锥内壁接触。如图所示，图甲中小环与小球在同一水平面上，图乙中轻绳与竖直轴成θ(θ<90°)角。设图甲和图乙中轻绳对小球的拉力分别为Ta和Tb，圆锥内壁对小球的支持力分别为Na和Nb，则下列说法中正确的是(　　)
A．Ta一定为零，Tb一定为零
B．Ta可以为零，Tb可以为零
C．Na一定不为零，Nb可以为零
D．Na可以为零，Nb可以为零
解析：选BC　对题图甲中的小球受力分析，小球所受的重力与支持力合力的方向可以指向圆心提供向心力，所以Ta可以为零，若Na等于零，则小球所受的重力与轻绳拉力的合力方向不能指向圆心提供向心力，所以Na一定不为零；对题图乙中的小球受力分析，若Tb为零，则小球所受的重力与支持力合力的方向可以指向圆心提供向心力，所以Tb可以为零，若Nb等于零，则小球所受的重力及轻绳拉力的合力方向也可以指向圆心提供向心力，所以Nb可以为零；故B、C正确，A、D错误。
3.(多选)在光滑水平桌面中央固定一边长为0.3 m的小正三棱柱abc，俯视图如图所示。长度为L＝1 m的细线，一端固定在a点，另一端拴住一个质量为m＝0.5 kg、不计大小的小球。初始时刻，把细线拉直在ca的延长线上，并给小球以v0＝2 m/s 且垂直于细线方向的水平速度，由于光滑三棱柱的存在，细线逐渐缠绕在三棱柱上(不计细线与三棱柱碰撞过程中的能量损失)。已知细线所能承受的最大张力为7 N，则下列说法正确的是(　　)
A．细线断裂之前，小球速度的大小保持不变
B．细线断裂之前，小球的速度大小逐渐减小
C．细线断裂之前，小球运动的总时间为0.7π s
D．细线断裂之前，小球运动的位移大小为0.9 m
解析：选ACD　细线断裂之前，细线拉力与速度垂直，不做功，不改变小球的速度大小，故选项A正确，B错误；细线刚断裂时，拉力大小为7 N，由F＝m，得此时的半径为r＝ m，由于小球每转120°，半径减小0.3 m，则知小球刚好转过一周，细线断裂，则小球运动的总时间为t＝·＋·＋·，而r1＝1 m，r2＝0.7 m，r3＝0.4 m，v0＝2 m/s，解得t＝0.7π s，故选项C正确；小球每转120°，半径减小0.3 m，细线断裂之前，小球运动的位移大小为1 m－0.1 m＝0.9 m，故选项D正确。
[融会贯通]
求解圆周运动问题必须进行的三类分析
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
点点通(四)　离心运动
1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，做逐渐远离圆心的运动。
2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。
3．受力特点
F为实际提供的向心力

当F＝mω2r时，做匀速圆周运动
当F＝0时，沿圆周切线方向飞出
当F＜mω2r时，逐渐远离圆心
当F>mω2r时，做近心运动
[小题练通]
1.(2019·诸城模拟)在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会(球直径比管直径略小)(　　)
A．向管底运动 B．向管口运动
C．保持不动 D．无法判断
解析：选B　转盘在水平面内转动时，玻璃管壁的摩擦力不足以提供水做圆周运动时所需要的向心力，所以水被“甩”到外侧管底才能随转盘转动，则乒乓球在水的作用下向管口运动，故B正确。
2．(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转动到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两物体的运动情况是(　　)
A．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动
B．物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
D．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
解析：选AB　当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要与圆盘发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是B所需要的向心力小于B的最大静摩擦力，所以B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，故C、D错误，A、B正确。
3.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处(　　)
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
解析：选AC　汽车以速率v0转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明此处路面内侧较低外侧较高，选项A正确；车速只要低于v0，车辆便有向内侧滑动的趋势，但不一定向内侧滑动，选项B错误；车速虽然高于v0，由于车轮与地面有摩擦力，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动，选项C正确；根据题述，汽车以速率v0转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，没有受到摩擦力，所以当路面结冰时，与未结冰时相比，转弯时v0的值不变，选项D错误。

点点通(五)　实验：探究影响向心力大小的因素
1．实验探究：利用如图所示的简易装置，采用控制变量法粗略感知影响向心力大小的因素。
(1)保持小球的质量m和半径r不变，探究向心力F与角速度ω的关系，则当ω增大时，F增大。
(2)保持小球的质量m和角速度ω不变，探究向心力F与半径r的关系，则当r增大时，F增大。
(3)保持小球的角速度ω和半径r不变，探究向心力F与质量m的关系，则当m增大时，F增大。
2．结论：物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量、半径、角速度都有关。
[小题练通]
1.(2019·泉州九中模拟)为验证向心力公式，某探究小组设计了如图所示的演示实验，在米尺的一端钻一个小孔，使小孔恰能穿过一根细线，线下端挂一质量为m，直径为d的小钢球。将米尺固定在水平桌面上，测量出悬点到钢球的细线长度l，使钢球在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O，待钢球的运动稳定后，用眼睛从米尺上方垂直于米尺往下看，读出钢球外侧到O点的距离r，并用秒表测量出钢球转动n圈用的时间t。则：
(1)钢球做圆周运动的周期T＝________。
(2)钢球做圆周运动的向心力F＝________。
解析：(1)钢球转动n圈用的时间为t，则周期为：T＝。
(2)钢球转动半径为R＝r－，
根据向心力公式得
F＝m2R＝m。
答案：(1)　(2)m
2.(2019·北京顺义区模拟)如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体质量、向心力、轨道半径及线速度关系的实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。力传感器测量向心力F，速度传感器测量圆柱体的线速度v，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力F与线速度v的关系。
(1)该同学采用的实验方法为________。
A．等效替代法
B．控制变量法
C．理想化模型法
(2)改变线速度v，多次测量，该同学测出了五组F、v数据，
如下表所示：
v/(m·s－1)
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
F/N
0.88
2.00
3.50
5.50
7.90
该同学对数据分析后，在图乙坐标纸上描出了五个点。

①在图乙中作出F­v2图线；
②若圆柱体运动半径r＝0.2 m，由作出的F­v2的图线可得圆柱体的质量m＝________ kg。(结果保留两位有效数字)
解析：(1)实验中研究向心力和速度的关系，保持圆柱体质量和运动半径不变，采用的实验方法是控制变量法，故选B。
(2)①作出F­v2图线，如图所示。

②根据F＝m知，图线的斜率k＝，则有：＝，代入数据解得m≈0.18 kg。
答案：(1)B　(2)①见解析图　②0.18
[融会贯通]
根据公式F＝mrω2和ω＝，可得F＝m，所以可以进一步探究感知向心力的大小与线速度的关系。

1．皮带传动和摩擦传动装置中两轮边缘线速度大小相等，而同轴传动装置中两轮角速度相等。
2．无论匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，沿半径方向的合力一定指向圆心，提供向心力。
3．物体做离心运动的原因不是因为受到了“离心力”，而是因为合外力不足以提供物体所需要的“向心力”。

[课堂综合训练]
1．(多选)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图所示是某一变速自行车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则(　　)
A．该自行车可变换两种不同挡位
B．该自行车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA：ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA：ωD＝4∶1
解析：选BC　该自行车可变换四种不同挡位，分别为A与C、A与D、B与C、B与D，A错误，B正确；当A轮与D轮组合时，由两轮齿数可知，当A轮转动一周时，D轮要转动四周，故ωA∶ωD＝1∶4，C正确，D错误。
2．(多选)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则(　　)

A．选择路线①，赛车经过的路程最短
B．选择路线②，赛车的速率最小
C．选择路线③，赛车所用时间最短
D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
解析：选ACD　由几何关系可得，路线①、②、③赛车通过的路程分别为：(πr＋2r)、(2πr＋2r)和2πr，可知路线①的路程最短，选项A正确；圆周运动时的最大速率对应着最大静摩擦力提供向心力的情形，即μmg＝m，可得最大速率v＝，则知路线②和③的速率相等，且大于路线①的速率，选项B错误；根据t＝，可得路线①、②、③所用的时间分别为t1＝，t2＝，t3＝，可知t3最小，即路线③所用时间最短，选项C正确；在圆弧轨道上，由牛顿第二定律可得：μmg＝ma向，a向＝μg，可知三条路线上的向心加速度大小均为μg，选项D正确。
3.如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定在O点，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则选项图中细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图像正确的是(　　)

解析：选A　设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，有Fsin θ＝mω2lsin θ，得F＝mω2l，选项A正确；由mgtan θ＝mω2lsin θ，h＝lcos θ，得h＝，选项B错误；小球的向心加速度a＝ω2lsin θ，选项C错误；小球的线速度v＝ωlsin θ，选项D错误。
4．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关。下列说法正确的是(　　)
A．速率v一定时，r越小，要求h越大
B．速率v一定时，r越大，要求h越大
C．半径r一定时，v越小，要求h越大
D．半径r一定时，v越大，要求h越大
解析：选AD　火车转弯时，向心力由重力mg与轨道支持力FN的合力来提供，如图所示，设轨道平面与水平面的夹角为θ，则有mgtan θ＝，且tan θ≈sin θ＝，其中L为轨间距，是定值，有mg＝，通过分析可知A、D正确。