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2020高考物理新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第五章第28课时 功和功率（双基落实课）
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第五章
知识内容
学科素养
素养水平
1.功和功率
物理观念
水平3
2.动能和动能定理
科学思维
水平4
3.重力做功与重力势能
物理观念
水平3
4.弹性势能
物理观念
水平2
5.功能关系、机械能守恒定律及其应用
科学思维
水平4
6.实验：验证机械能守恒定律
科学探究
水平3
第28课时 功和功率(双基落实课)
点点通(一) 功的理解和正负判断
1．做功两因素：力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Flcos α。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3．功的正负的判断方法
恒力的功
依据力与位移方向的夹角来判断
曲线运动
中的功
依据力与速度方向的夹角α来判断，当0°≤α<90°时，力对物体做正功；当90°<α≤180°时，力对物体做负功；当α＝90°时，力对物体不做功
能量变化
时的功
功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断
[小题练通]
1.(2017·全国卷Ⅱ)如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功 B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
解析：选A 由于大圆环是光滑的，因此小环下滑的过程中，大圆环对小环的作用力方向始终与速度方向垂直，因此大圆环对它的作用力不做功，A项正确，B项错误；小环下滑过程中，大圆环对小环的作用力先背离后指向大圆环的圆心，C、D项错误。
2.(多选)小狗拉着雪橇在水平冰面上沿圆弧形的轨道匀速行驶，如图所示为雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的示意图(O为圆心)。关于各力做功情况，下列说法正确的是( )
A．牵引力F做正功
B．摩擦力Ff做负功
C．牵引力F与摩擦力Ff的合力做正功
D．牵引力F与摩擦力Ff的合力不做功
解析：选ABD 由题图可知，牵引力与速度方向的夹角小于90°，故牵引力F做正功，选项A正确；由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力Ff方向必与运动方向相反，摩擦力Ff做负功，选项B正确；雪橇做匀速圆周运动，牵引力F及摩擦力Ff的合力提供向心力，指向圆心，即合力与速度的方向垂直，所以不做功，选项C错误，D正确。
3.如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体与斜面相对静止。则关于斜面对物体的支持力和摩擦力的下列说法中错误的是( )
A．支持力一定做正功 B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功 D．摩擦力可能做负功
解析：选B 根据题图可知，斜面对物体的支持力方向垂直斜面向上，又因斜面与物体沿水平方向向左运动，故支持力一定做正功。而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a＝gtan θ，摩擦力不做功；当a>gtan θ时，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；当a
(1)功是标量，只有大小没有方向。
(2)功的正负既不表示大小，也不表示方向。
(3)公式中l为物体的位移，而不是力作用点的位移。
点点通(二) 功的计算
1．利用定义式计算恒力做的功
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
2．变力做功的计算方法
利用动能
定理求变
力做的功
对于曲线运动或变力做功问题，利用公式W＝Flcos α不容易直接求功时，可考虑由动能的变化来间接求功
化变力为
恒力求变
力做的功
对有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中
利用微元
法求变力
做的功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
利用平均
力求变力
做的功
若力的方向不变，而大小随位移(注意不是随时间)均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，然后用公式W＝lcos α求此变力所做的功
用Fx
图像求变
力做的功
在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)
利用W＝
Pt求变力
做的功
W＝Pt适用于变力的功率恒定或平均功率已知的情形
[小题练通]
1.(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后释放。摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL
D．空气阻力做功为－F阻πL
解析：选ABD 摆球从A点运动到B点过程中，重力做功为mgL，A正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；空气阻力的大小F阻不变，方向始终与速度方向相反，故做功为－F阻πL，C错误，D正确。
2.如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
解析：选C 质点在最低点Q时受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN－mg＝m，由牛顿第三定律知，FN＝FN′＝2mg，联立解得v＝，质点自P滑到Q的过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，即克服摩擦力做的功为mgR，C正确。
3.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉轻绳，使滑块从A点由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中，轻绳对滑块做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
解析：选A 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做的功转化为恒力做的功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中拉力F的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧轻绳的缩短量，由AB＝BC及几何关系可知，ΔlAB＞ΔlBC，故W1＞W2，A项正确。
4.(多选)如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块做功的大小为( )
A.Mv2 B．Mv2
C.μMgl D．μMgl
解析：选AC 总质量为M的小方块在进入粗糙水平面的过程中，滑动摩擦力由0均匀增大，当全部进入时摩擦力达到最大值μMg，总位移为l，平均摩擦力为f＝μMg，由功的公式可得Wf＝－f·l＝－μMgl，摩擦力对所有小方块做功的大小为μMgl，C正确，D错误；由动能定理可得Wf＝0－Mv2＝－Mv2，摩擦力对所有小方块做功的大小为Mv2，A正确，B错误。
5.(2019·胶州检测)质量为2 kg的物体做直线运动，沿此直线作用于物体的外力与位移的关系如图所示，若物体的初速度为3 m/s，则其末速度为( )
A．5 m/s
B. m/s
C. m/s
D. m/s
解析：选B F x图线与x轴围成的面积表示外力所做的功，由题图可知：W＝(2×2＋4×4－3×2)J＝14 J，根据动能定理得：W＝mv2－mv02，解得：v＝ m/s，故B正确。
点点通(三) 功率的理解与计算
1．功率：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcos α
①若v为平均速度，则P为平均功率。
②若v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
4．额定功率：机械可以长时间工作的最大输出功率。
5．实际功率：机械实际工作时的输出功率，要求不大于额定功率。
[小题练通]
1.把A、B两相同小球在离地面同一高度处以大小相同的初速度v0，分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．A、B落地时速度相同
B．A、B落地时，重力的瞬时功率相同
C．从开始运动至落地，重力对A、B做的功不同
D．从开始运动至落地，重力对A、B做功的平均功率A>B
解析：选D A、B落地时的速度大小相同，方向不同，选项A错误；因B落地时竖直速度较大，由P＝mgv竖可知，PB>PA，选项B错误；重力做功取决于竖直方向上的高度差，故重力对A、B做的功均为mgh，选项C错误；因B从被抛出到落地所用时间较长，故A>B，选项D正确。
2.如图所示，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球。一水平向右的拉力F作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°角时，拉力的功率为( )
A．mgLω B.mgLω
C.mgLω D.mgLω
解析：选C 由能量的转化与守恒可知：拉力的功率等于小球克服重力做功的功率，即PF＝PG＝mgvy＝mgvcos 60°＝mgLω，故C正确。
3.(多选)(2019·济南模拟)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。水平力的大小F与时间t的关系如图所示，水平力的方向保持不变，下列说法正确的是( )
A．3t0时刻水平力的瞬时功率为
B．3t0时刻水平力的瞬时功率为
C．在0～3t0时间内，水平力的平均功率为
D．在0～3t0时间内，水平力的平均功率为
解析：选BD 根据题图可知，在0～2t0时间内的加速度a1＝，2t0时刻的速度v2＝a1·2t0＝t0,0～2t0时间内位移x1＝·2t0＝t02，故0～2t0时间内水平力做的功W1＝F0x1＝t02；在2t0～3t0时间内的加速度a2＝，3t0时刻的速度v3＝v2＋a2t0＝t0，故3t0时刻水平力的瞬时功率P3＝3F0v3＝，在2t0～3t0时间内位移x2＝·t0＝，故2t0～3t0时间内水平力做的功W2＝3F0·x2＝，因此在0～3t0时间内水平力的平均功率P＝＝，故B、D正确。
[融会贯通]
求解功率时应注意的问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
点点通(四) 机车启动问题
1．以恒定功率启动的运动过程分析
2．以恒定加速度启动的运动过程分析
3．两类启动的图像比较
[小题练通]
1．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的速度为时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 当汽车牵引力等于阻力时，速度最大，则阻力Ff＝，当速度为时，牵引力F＝＝，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，解得a＝，选项C正确。
2.(2019·广西检测)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数图像如图所示。若已知汽车的质量，则根据图像所给的信息，不能求出的物理量是( )
A．汽车的功率
B．汽车行驶的最大速度
C．汽车所受到的阻力
D．汽车运动到最大速度所需的时间
解析：选D 由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，对应题图图线可知，＝|k|＝40 m2·s－3,已知汽车的质量,故可求出汽车的功率P,由a＝0时＝0.05 m－1·s，可得汽车行驶的最大速度为vm＝20 m/s，再由vm＝，可求出汽车受到的阻力Ff，但无法求出汽车运动到最大速度的时间。故D不能求出。
3．在港珠澳大桥6.7千米海底隧道的两端各建有一个人工岛，两人工岛及隧道路面可简化成如图所示，各部分的长度已在图中标出，其中倾斜路面与水平路面之间有一小段圆弧连接，重力加速度为g。
(1)假设汽车在倾斜路面上运动所受阻力和在水平路面上运动所受阻力相等。若汽车关闭发动机后刚好能够从左侧倾斜路面向下匀速运动，求汽车关闭发动机以速度v0从左侧倾斜路面的最高点向下运动后，能够在水平路面上运动的距离s(s
(3)已知质量为m、额定功率为P的汽车在图中右侧倾斜路面上向上行驶的最大速度为vm2，求汽车以额定功率在右侧倾斜路面上向上行驶速度为v1(v1
汽车运动到水平路面时速度为v0，由动能定理得－f1s＝0－mv02，联立解得s＝。
(2)汽车启动过程中达到最大速度vm1时，牵引力等于阻力，则P＝f2vm1，解得阻力f2＝；
设在匀加速启动过程中，汽车做匀加速运动的牵引力为F、达到额定功率时的速度为v、时间为t，则P＝Fv，v＝at，F－f2＝ma
联立解得t＝。
(3)由P＝F阻vm2(F阻包含重力沿斜面向下的分力)
解得阻力F阻＝
当汽车速度为v1时牵引力F1＝
由牛顿第二定律有F1－F阻＝ma1
联立解得a1＝－。
答案：(1) (2)
(3)－
[融会贯通]
(1)无论哪种启动过程，汽车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)汽车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝。
(3)汽车启动问题常用动能定理解决，Pt－F阻x＝ΔEk，只有以恒定加速度启动刚开始的一段时间可以利用匀变速直线运动公式。
1．力对物体是否做功，关键看力与物体的位移方向间的夹角，只要夹角不等于90° 就做功。
2．斜面对物体的支持力垂直于斜面，但不一定垂直于物体的位移，故斜面对物体的支持力可能做功。
3．作用力与反作用力等大反向，而作用力与反作用力做的功并不一定一正一负、大小相等，实际上二者没有必然联系。
4．瞬时功率P＝Fvcos α，而发动机牵引力的功率P＝Fv，因为汽车的牵引力方向与汽车运动方向相同，cos α＝1。
5．汽车匀加速启动过程的末速度一定小于汽车所能达到的最大速度。
[课堂综合训练]
1.(2019·潍坊模拟)如图所示，小物块甲从竖直固定的光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )
A．两物块到达底端时速度相同
B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C．两物块到达底端时动能相同
D．两物块到达底端时，重力对乙做功的瞬时功率大于重力对甲做功的瞬时功率
解析：选D 两物块下落的高度相同，根据动能定理，有mgR＝mv2，解得v＝，可知两物块到达底端时的速度大小相等，但方向不同，A错误；两物块的质量大小关系不确定，故无法判断两物块运动到底端时重力做的功及动能是否相同，B、C错误；在底端时，重力对甲做功的瞬时功率为零，重力对乙做功的瞬时功率大于零，D正确。
2.某物体在变力F作用下沿水平方向做直线运动，物体的质量m＝10 kg，F随物体的坐标x的变化情况如图所示。若物体从坐标原点由静止出发，不计一切摩擦。借鉴教科书中学习直线运动时，由v t图像求位移的方法，结合其他所学知识，根据如图所示的Fx图像，可求出物体运动到x＝16 m时的速度大小为( )
A．3 m/s B．4 m/s
C．2 m/s D. m/s
解析：选C 力F在运动过程中所做的总功WF＝×(4＋8)×10 J－×10×(16－12)J＝40 J，由动能定理得WF＝mv2－0，解得物体运动到x＝16 m 处的速度大小为v＝2 m/s，C正确。
3.用水平力F拉着一物体在水平面上做匀速直线运动，某时刻将力F随时间均匀减小，物体所受的摩擦力随时间的变化如图中实线所示，下列说法中正确的是( )
A．F做功的功率是从t1时刻开始减小的，t2时刻F做功的功率刚好变为零
B．F做功的功率是从t1时刻开始减小的，t3时刻F做功的功率刚好变为零
C．F做功的功率是从t2时刻开始减小的，并且在t2时刻直接变为零
D．F做功的功率是从t2时刻开始减小的，t3时刻F做功的功率刚好变为零
解析：选A 由题图可知，在t2时刻，物体所受摩擦力发生突变，显然是由原先的滑动摩擦力突变为静摩擦力，因此，从t2时刻起，物体开始处于静止状态，由功率P＝Fv可知，t2时刻F做功的功率刚好变为零，故选项B、D错误；由题图可知，物体受到的滑动摩擦力为f，开始时物体做匀速直线运动，可知此时F＝f，即F的最大值为f，t2～t3时间内，物体处于静止状态，可知F＝Ff，因为F均匀减小，结合题图可知F在t1时刻开始减小；即F做功的功率从t1时刻开始减小，故选项A正确，C错误。
4．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升，重物上升的高度为h。则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为
B．钢绳的最大拉力为mg
C．重物做匀加速运动的末速度为
D．重物做匀加速运动的加速度为－g
解析：选D 重物向上加速过程处于超重状态，钢绳拉力大于mg，匀速运动阶段钢绳的拉力为＝mg，故A、B错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于mg，故其速度小于，故C错误；重物匀加速运动的末速度为v1，此时的拉力为F＝，由牛顿第二定律得：a＝＝－g，故D正确。
5．汽车质量为m, 输出功率恒为P, 沿平直公路前进距离x的过程中， 其速度由v1增至最大速度v2，假设汽车在运动过程中所受阻力恒定， 则汽车通过距离x所用的时间为多少？
解析：牵引力做功W等于汽车增加的动能ΔEk与克服摩擦力所做的功Wf之和
即W＝ΔEk＋Wf
其中ΔEk＝mv22－mv12
速度达到最大值v2时，牵引力等于摩擦力Ff
由P＝Fv2＝Ffv2得：Ff＝
克服摩擦力所做的功： Wf＝Ffx＝
W＝mv22－mv12＋
由于汽车以恒定功率P行驶，W＝Pt
所以经历的时间
t＝＝＝＋。
答案：＋
知识内容
学科素养
素养水平
1.功和功率
物理观念
水平3
2.动能和动能定理
科学思维
水平4
3.重力做功与重力势能
物理观念
水平3
4.弹性势能
物理观念
水平2
5.功能关系、机械能守恒定律及其应用
科学思维
水平4
6.实验：验证机械能守恒定律
科学探究
水平3
第28课时 功和功率(双基落实课)
点点通(一) 功的理解和正负判断
1．做功两因素：力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Flcos α。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3．功的正负的判断方法
恒力的功
依据力与位移方向的夹角来判断
曲线运动
中的功
依据力与速度方向的夹角α来判断，当0°≤α<90°时，力对物体做正功；当90°<α≤180°时，力对物体做负功；当α＝90°时，力对物体不做功
能量变化
时的功
功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断
[小题练通]
1.(2017·全国卷Ⅱ)如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功 B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
解析：选A 由于大圆环是光滑的，因此小环下滑的过程中，大圆环对小环的作用力方向始终与速度方向垂直，因此大圆环对它的作用力不做功，A项正确，B项错误；小环下滑过程中，大圆环对小环的作用力先背离后指向大圆环的圆心，C、D项错误。
2.(多选)小狗拉着雪橇在水平冰面上沿圆弧形的轨道匀速行驶，如图所示为雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的示意图(O为圆心)。关于各力做功情况，下列说法正确的是( )
A．牵引力F做正功
B．摩擦力Ff做负功
C．牵引力F与摩擦力Ff的合力做正功
D．牵引力F与摩擦力Ff的合力不做功
解析：选ABD 由题图可知，牵引力与速度方向的夹角小于90°，故牵引力F做正功，选项A正确；由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力Ff方向必与运动方向相反，摩擦力Ff做负功，选项B正确；雪橇做匀速圆周运动，牵引力F及摩擦力Ff的合力提供向心力，指向圆心，即合力与速度的方向垂直，所以不做功，选项C错误，D正确。
3.如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体与斜面相对静止。则关于斜面对物体的支持力和摩擦力的下列说法中错误的是( )
A．支持力一定做正功 B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功 D．摩擦力可能做负功
解析：选B 根据题图可知，斜面对物体的支持力方向垂直斜面向上，又因斜面与物体沿水平方向向左运动，故支持力一定做正功。而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a＝gtan θ，摩擦力不做功；当a>gtan θ时，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；当a
(1)功是标量，只有大小没有方向。
(2)功的正负既不表示大小，也不表示方向。
(3)公式中l为物体的位移，而不是力作用点的位移。
点点通(二) 功的计算
1．利用定义式计算恒力做的功
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
2．变力做功的计算方法
利用动能
定理求变
力做的功
对于曲线运动或变力做功问题，利用公式W＝Flcos α不容易直接求功时，可考虑由动能的变化来间接求功
化变力为
恒力求变
力做的功
对有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中
利用微元
法求变力
做的功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
利用平均
力求变力
做的功
若力的方向不变，而大小随位移(注意不是随时间)均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，然后用公式W＝lcos α求此变力所做的功
用Fx
图像求变
力做的功
在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)
利用W＝
Pt求变力
做的功
W＝Pt适用于变力的功率恒定或平均功率已知的情形
[小题练通]
1.(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后释放。摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL
D．空气阻力做功为－F阻πL
解析：选ABD 摆球从A点运动到B点过程中，重力做功为mgL，A正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；空气阻力的大小F阻不变，方向始终与速度方向相反，故做功为－F阻πL，C错误，D正确。
2.如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
解析：选C 质点在最低点Q时受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN－mg＝m，由牛顿第三定律知，FN＝FN′＝2mg，联立解得v＝，质点自P滑到Q的过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，即克服摩擦力做的功为mgR，C正确。
3.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉轻绳，使滑块从A点由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中，轻绳对滑块做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
解析：选A 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做的功转化为恒力做的功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中拉力F的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧轻绳的缩短量，由AB＝BC及几何关系可知，ΔlAB＞ΔlBC，故W1＞W2，A项正确。
4.(多选)如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块做功的大小为( )
A.Mv2 B．Mv2
C.μMgl D．μMgl
解析：选AC 总质量为M的小方块在进入粗糙水平面的过程中，滑动摩擦力由0均匀增大，当全部进入时摩擦力达到最大值μMg，总位移为l，平均摩擦力为f＝μMg，由功的公式可得Wf＝－f·l＝－μMgl，摩擦力对所有小方块做功的大小为μMgl，C正确，D错误；由动能定理可得Wf＝0－Mv2＝－Mv2，摩擦力对所有小方块做功的大小为Mv2，A正确，B错误。
5.(2019·胶州检测)质量为2 kg的物体做直线运动，沿此直线作用于物体的外力与位移的关系如图所示，若物体的初速度为3 m/s，则其末速度为( )
A．5 m/s
B. m/s
C. m/s
D. m/s
解析：选B F x图线与x轴围成的面积表示外力所做的功，由题图可知：W＝(2×2＋4×4－3×2)J＝14 J，根据动能定理得：W＝mv2－mv02，解得：v＝ m/s，故B正确。
点点通(三) 功率的理解与计算
1．功率：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcos α
①若v为平均速度，则P为平均功率。
②若v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
4．额定功率：机械可以长时间工作的最大输出功率。
5．实际功率：机械实际工作时的输出功率，要求不大于额定功率。
[小题练通]
1.把A、B两相同小球在离地面同一高度处以大小相同的初速度v0，分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．A、B落地时速度相同
B．A、B落地时，重力的瞬时功率相同
C．从开始运动至落地，重力对A、B做的功不同
D．从开始运动至落地，重力对A、B做功的平均功率A>B
解析：选D A、B落地时的速度大小相同，方向不同，选项A错误；因B落地时竖直速度较大，由P＝mgv竖可知，PB>PA，选项B错误；重力做功取决于竖直方向上的高度差，故重力对A、B做的功均为mgh，选项C错误；因B从被抛出到落地所用时间较长，故A>B，选项D正确。
2.如图所示，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球。一水平向右的拉力F作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°角时，拉力的功率为( )
A．mgLω B.mgLω
C.mgLω D.mgLω
解析：选C 由能量的转化与守恒可知：拉力的功率等于小球克服重力做功的功率，即PF＝PG＝mgvy＝mgvcos 60°＝mgLω，故C正确。
3.(多选)(2019·济南模拟)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。水平力的大小F与时间t的关系如图所示，水平力的方向保持不变，下列说法正确的是( )
A．3t0时刻水平力的瞬时功率为
B．3t0时刻水平力的瞬时功率为
C．在0～3t0时间内，水平力的平均功率为
D．在0～3t0时间内，水平力的平均功率为
解析：选BD 根据题图可知，在0～2t0时间内的加速度a1＝，2t0时刻的速度v2＝a1·2t0＝t0,0～2t0时间内位移x1＝·2t0＝t02，故0～2t0时间内水平力做的功W1＝F0x1＝t02；在2t0～3t0时间内的加速度a2＝，3t0时刻的速度v3＝v2＋a2t0＝t0，故3t0时刻水平力的瞬时功率P3＝3F0v3＝，在2t0～3t0时间内位移x2＝·t0＝，故2t0～3t0时间内水平力做的功W2＝3F0·x2＝，因此在0～3t0时间内水平力的平均功率P＝＝，故B、D正确。
[融会贯通]
求解功率时应注意的问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
点点通(四) 机车启动问题
1．以恒定功率启动的运动过程分析
2．以恒定加速度启动的运动过程分析
3．两类启动的图像比较
[小题练通]
1．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的速度为时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 当汽车牵引力等于阻力时，速度最大，则阻力Ff＝，当速度为时，牵引力F＝＝，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，解得a＝，选项C正确。
2.(2019·广西检测)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数图像如图所示。若已知汽车的质量，则根据图像所给的信息，不能求出的物理量是( )
A．汽车的功率
B．汽车行驶的最大速度
C．汽车所受到的阻力
D．汽车运动到最大速度所需的时间
解析：选D 由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，对应题图图线可知，＝|k|＝40 m2·s－3,已知汽车的质量,故可求出汽车的功率P,由a＝0时＝0.05 m－1·s，可得汽车行驶的最大速度为vm＝20 m/s，再由vm＝，可求出汽车受到的阻力Ff，但无法求出汽车运动到最大速度的时间。故D不能求出。
3．在港珠澳大桥6.7千米海底隧道的两端各建有一个人工岛，两人工岛及隧道路面可简化成如图所示，各部分的长度已在图中标出，其中倾斜路面与水平路面之间有一小段圆弧连接，重力加速度为g。
(1)假设汽车在倾斜路面上运动所受阻力和在水平路面上运动所受阻力相等。若汽车关闭发动机后刚好能够从左侧倾斜路面向下匀速运动，求汽车关闭发动机以速度v0从左侧倾斜路面的最高点向下运动后，能够在水平路面上运动的距离s(s
(3)已知质量为m、额定功率为P的汽车在图中右侧倾斜路面上向上行驶的最大速度为vm2，求汽车以额定功率在右侧倾斜路面上向上行驶速度为v1(v1
汽车运动到水平路面时速度为v0，由动能定理得－f1s＝0－mv02，联立解得s＝。
(2)汽车启动过程中达到最大速度vm1时，牵引力等于阻力，则P＝f2vm1，解得阻力f2＝；
设在匀加速启动过程中，汽车做匀加速运动的牵引力为F、达到额定功率时的速度为v、时间为t，则P＝Fv，v＝at，F－f2＝ma
联立解得t＝。
(3)由P＝F阻vm2(F阻包含重力沿斜面向下的分力)
解得阻力F阻＝
当汽车速度为v1时牵引力F1＝
由牛顿第二定律有F1－F阻＝ma1
联立解得a1＝－。
答案：(1) (2)
(3)－
[融会贯通]
(1)无论哪种启动过程，汽车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)汽车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝。
(3)汽车启动问题常用动能定理解决，Pt－F阻x＝ΔEk，只有以恒定加速度启动刚开始的一段时间可以利用匀变速直线运动公式。
1．力对物体是否做功，关键看力与物体的位移方向间的夹角，只要夹角不等于90° 就做功。
2．斜面对物体的支持力垂直于斜面，但不一定垂直于物体的位移，故斜面对物体的支持力可能做功。
3．作用力与反作用力等大反向，而作用力与反作用力做的功并不一定一正一负、大小相等，实际上二者没有必然联系。
4．瞬时功率P＝Fvcos α，而发动机牵引力的功率P＝Fv，因为汽车的牵引力方向与汽车运动方向相同，cos α＝1。
5．汽车匀加速启动过程的末速度一定小于汽车所能达到的最大速度。
[课堂综合训练]
1.(2019·潍坊模拟)如图所示，小物块甲从竖直固定的光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )
A．两物块到达底端时速度相同
B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C．两物块到达底端时动能相同
D．两物块到达底端时，重力对乙做功的瞬时功率大于重力对甲做功的瞬时功率
解析：选D 两物块下落的高度相同，根据动能定理，有mgR＝mv2，解得v＝，可知两物块到达底端时的速度大小相等，但方向不同，A错误；两物块的质量大小关系不确定，故无法判断两物块运动到底端时重力做的功及动能是否相同，B、C错误；在底端时，重力对甲做功的瞬时功率为零，重力对乙做功的瞬时功率大于零，D正确。
2.某物体在变力F作用下沿水平方向做直线运动，物体的质量m＝10 kg，F随物体的坐标x的变化情况如图所示。若物体从坐标原点由静止出发，不计一切摩擦。借鉴教科书中学习直线运动时，由v t图像求位移的方法，结合其他所学知识，根据如图所示的Fx图像，可求出物体运动到x＝16 m时的速度大小为( )
A．3 m/s B．4 m/s
C．2 m/s D. m/s
解析：选C 力F在运动过程中所做的总功WF＝×(4＋8)×10 J－×10×(16－12)J＝40 J，由动能定理得WF＝mv2－0，解得物体运动到x＝16 m 处的速度大小为v＝2 m/s，C正确。
3.用水平力F拉着一物体在水平面上做匀速直线运动，某时刻将力F随时间均匀减小，物体所受的摩擦力随时间的变化如图中实线所示，下列说法中正确的是( )
A．F做功的功率是从t1时刻开始减小的，t2时刻F做功的功率刚好变为零
B．F做功的功率是从t1时刻开始减小的，t3时刻F做功的功率刚好变为零
C．F做功的功率是从t2时刻开始减小的，并且在t2时刻直接变为零
D．F做功的功率是从t2时刻开始减小的，t3时刻F做功的功率刚好变为零
解析：选A 由题图可知，在t2时刻，物体所受摩擦力发生突变，显然是由原先的滑动摩擦力突变为静摩擦力，因此，从t2时刻起，物体开始处于静止状态，由功率P＝Fv可知，t2时刻F做功的功率刚好变为零，故选项B、D错误；由题图可知，物体受到的滑动摩擦力为f，开始时物体做匀速直线运动，可知此时F＝f，即F的最大值为f，t2～t3时间内，物体处于静止状态，可知F＝Ff，因为F均匀减小，结合题图可知F在t1时刻开始减小；即F做功的功率从t1时刻开始减小，故选项A正确，C错误。
4．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升，重物上升的高度为h。则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为
B．钢绳的最大拉力为mg
C．重物做匀加速运动的末速度为
D．重物做匀加速运动的加速度为－g
解析：选D 重物向上加速过程处于超重状态，钢绳拉力大于mg，匀速运动阶段钢绳的拉力为＝mg，故A、B错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于mg，故其速度小于，故C错误；重物匀加速运动的末速度为v1，此时的拉力为F＝，由牛顿第二定律得：a＝＝－g，故D正确。
5．汽车质量为m, 输出功率恒为P, 沿平直公路前进距离x的过程中， 其速度由v1增至最大速度v2，假设汽车在运动过程中所受阻力恒定， 则汽车通过距离x所用的时间为多少？
解析：牵引力做功W等于汽车增加的动能ΔEk与克服摩擦力所做的功Wf之和
即W＝ΔEk＋Wf
其中ΔEk＝mv22－mv12
速度达到最大值v2时，牵引力等于摩擦力Ff
由P＝Fv2＝Ffv2得：Ff＝
克服摩擦力所做的功： Wf＝Ffx＝
W＝mv22－mv12＋
由于汽车以恒定功率P行驶，W＝Pt
所以经历的时间
t＝＝＝＋。
答案：＋
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