2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第9章 阶段自测卷（六） (含解析)

阶段自测卷(六)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2019·四川诊断)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)
A. B．(0,1)
C．(1,0) D.
答案　C
解析　抛物线y2＝2px的焦点坐标为，
由抛物线y2＝4x得2p＝4，解得 p＝2，
则焦点坐标为(1,0)，故选C.
2．(2019·抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为(　　)
A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－7＝0
C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0
答案　B
解析　设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，
把点(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.
可得要求的直线方程为2x＋3y－7＝0，故选B.
3．(2019·陕西四校联考)直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
答案　B
解析　将圆的方程化为标准方程得
2＋2＝，
∴圆心坐标为，半径r＝，
∵圆心到直线ax－by＝0的距离
d＝＝＝r，
∴圆与直线的位置关系是相切．故选B.
4．(2018·山西四校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c,0)到y＝x的距离为2，即＝2，又b>0，c>0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2.∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，
∴a＝＝，∴离心率e＝＝＝.
5．(2019·凉山诊断)已知双曲线E的渐近线方程是y＝±2x，则E的离心率为(　　)
A.或2 B.
C. D.或
答案　D
解析　当双曲线焦点在x轴上时，依题意得＝2，
故双曲线的离心率为e＝＝＝.
当双曲线焦点在y轴上时，依题意得＝2，即＝，
故双曲线的离心率为e＝＝＝.故选D.
6．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，得＝，
椭圆C的长轴长与焦距之和为6，即2a＋2c＝6，
解得a＝2，c＝1，则b＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1，故选D.
7．若双曲线－＝1(a>0，b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，
从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，
又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.
8．(2019·唐山模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，＝2，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由题意，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，

且AF1⊥AF2，且＝2，则可知|OA|＝c，
设A(x，y)，则x＝ccos 30°＝c，y＝csin 30°＝c，
即A，
代入椭圆的方程可得＋＝1，
又由＝2，得S＝×2c×c＝c2＝2，
解得c2＝4，且c2＝a2－b2，
所以a2＝6，b2＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1，故选A.
9．(2019·新乡模拟)已知点M(x，y)是抛物线y2＝4x上的动点，则＋的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　A
解析　因为表示点M(x，y)到点F(1,0)的距离，即点M(x，y)到抛物线y2＝4x的准线x＝－1的距离，因为表示点M(x，y)到点A(2,1)的距离，所以＋的最小值为点A(2,1)到抛物线y2＝4x的准线x＝－1的距离3，即(＋)min＝3.故选A.
10．(2019·河北衡水中学调研)已知y2＝4x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y2＝4x于A，B，两点∠AFB＝60°，则|AB|等于(　　)
A. B.
C．4 D．3
答案　B
解析　设A(x1,2)，B(x2,2)，x2>x1>0，
因为kQA＝kQB，即＝，整理化简得x1x2＝1，
|AB|2＝(x2－x1)2＋(2－2)2，
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
代入余弦定理
|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|cos 60°，
整理化简得，x1＋x2＝，
又因为x1x2＝1，所以x1＝，x2＝3，
|AB|＝＝，故选B.
11．(2019·成都七中诊断)设抛物线C：y2＝12x的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且＝λ(λ>0)，若|MF|＝4，则λ等于(　　)
A. B．2
C. D．3
答案　D
解析　如图，过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得＝＝，

又|MF|＝4，∴|MM′|＝4，
又|FF′|＝6，
∴＝＝，∴λ＝3.
故选D.
12．(2019·长沙长郡中学调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)具有相同焦点F1，F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若∠F1PF2＝，则e＋e的最小值是(　　)
A. B．2＋
C. D.
答案　A
解析　根据题意，可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
|PF1|－|PF2|＝2m，
解得|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，
根据余弦定理，可知
(2c)2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos ，
整理得c2＝，
所以e＋e＝＋＝＋
＝1＋≥1＋＝
(当且仅当a2＝m2时取等号)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2019·长春质检)若椭圆C的方程为＋＝1，则其离心率为________．
答案　
解析　根据椭圆方程得到a＝2，b＝，c＝1，e＝＝.
14．(2019·南昌八一中学、洪都中学联考)若F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
答案　5
解析　因为点P在椭圆＋＝1上，
由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
又|PF1||PF2|≤2＝()2＝5，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，
所以|PF1||PF2|的最大值为5.
15．(2018·兰州调研)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
答案　3－5
解析　把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得
(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.
圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；
圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
圆心距d＝＝3.
所以|PQ|的最小值是3－5.
16．(2019·广东六校联考)已知直线l：y＝kx＋t与圆C1：x2＋(y＋1)2＝2相交于A，B两点，且△C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是______________．
答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析　根据题意得到△C1AB的面积为r2sin θ，当角度为直角时面积最大，此时△C1AB为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d＝1，根据点到直线的距离公式得到＝1⇒1＋k2＝(1＋t)2⇒k2＝t2＋2t，直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，联立直线和抛物线方程得到x2－2kx－2t＝0 ，只需要此方程有两个不等根即可，Δ＝4k2＋8t＝4t2＋16t>0 ，解得t的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
三、解答题(本大题共70分)
17．(10分)(2018·重庆朝阳中学月考)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0，直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)求a为何值时，l1∥l2；
(2)求a为何值时，l1⊥l2.
解　(1)∵l1∥l2 ，∴
解得a＝－1或a＝2(舍去)，
∴当a＝－1时，l1∥l2.
(2)∵l1⊥l2，∴a·1＋2·(a－1)＝0，
解得a＝，∴当a＝时，l1⊥l2.
18．(12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.
(1)证明：对任意实数m，直线l恒过定点且与圆C交于两个不同点；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．
(1)证明　直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0可化为m(2x＋y－7)＋(x＋y－4)＝0，
由解得
所以直线l恒过点P(3,1)，而点P(3,1)在圆C内，
所以对任意实数m，直线l恒过点P(3,1)且与圆C交于两个不同点．
(2)解　由(1)得，直线l恒过圆C内的定点P(3,1)，设过点P的弦长为a，过圆心C向直线l作垂线，垂足为弦的中点H，则2＋|CH|2＝25，弦长a最短，则|CH|最大，而|CH|≤|CP|，当且仅当H与P重合时取等号，此时弦所在的直线与直线CP垂直，又过点P(3,1)，
所以，当直线l被圆C截得的弦长最小时，弦所在的直线方程为2x－y－5＝0.
19．(12分)(2019·湛江调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求△PAB的面积．
解　(1)由已知得c＝2，＝，解得a＝2.
b2＝a2－c2＝4,
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，代入椭圆方程得
4x2＋6mx＋3m2－12＝0， (*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为E(x0，y0),
则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率为k＝＝－1，解得m＝2，
此时方程(*)为4x2＋12x＝0.
解得x＝0或－3，所以y＝2或－1，所以|AB|＝3，
此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
20．(12分)(2019·四川诊断)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F(－2,0)，上顶点B(0,2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同两点M，N，且线段MN的中点G在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解　(1)由题意可得c＝2，b＝2，
由a2＝b2＋c2得a2＝22＋22＝8，所以a＝2，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
线段MN的中点G(x0，y0)，
由消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
则Δ＝96－8m2>0，所以－2 且x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，
因为点G(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
所以2＋2＝1，
解得m＝±，满足－2 所以m的值为±.
21．(12分)(2019·化州模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点坐标为(1,0)，短轴长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A，B两点，若△OAB(O为直角坐标原点)的面积为，求直线AB的方程．
解　(1)由题意得　解得a＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)当直线AB与x轴垂直时，|AB|＝，
此时S△AOB＝不符合题意，故舍掉；
当直线AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，
由
消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋(3k2－6)＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴|AB|＝
＝
＝＝
＝＝
＝，
原点O到直线AB的距离d＝，
∴S△AOB＝|AB|d＝××
＝，
由S△AOB＝，得k2＝2，故k＝±，
∴直线AB的方程为y＝(x＋1)或y＝－(x＋1)，
即x－y＋＝0或x＋y＋＝0.
22．(12分)(2019·新乡模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，延长BF2交椭圆C于点M，△ABF2的周长为8.

(1)求椭圆C的离心率及方程；
(2)试问：是否存在定点P(x0,0)，使得·为定值？若存在，求出x0；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意可知，|F1F2|＝2c＝2，则c＝1，
又△ABF2的周长为8，所以4a＝8，即a＝2，
则e＝＝，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在点P，使得·为定值．
若直线BM的斜率不存在，
则直线BM的方程为x＝1，B，M，
则·＝(x0－1)2－.
若直线BM的斜率存在，设BM的方程为y＝k(x－1)，
设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，联立
得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝，
x1x2＝，
由于＝(x2－x0，y2)，＝(x1－x0，y1)，
则·＝x1x2－(x1＋x2)x0＋x＋y1y2
＝(k2＋1)x1x2－(x0＋k2)(x1＋x2)＋k2＋x
＝，
因为·为定值，所以＝，
解得x0＝，故存在点P，且x0＝.