2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第4章 阶段自测卷（三） (含解析)

阶段自测卷(三)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2019·浏阳六校联考)已知点P(－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　A

解析　∵点P(－4,3)是角α终边上的一点，

∴sin α＝，∴sin(π－α)＝sin α＝.

故选A.

2．(2019·长春质检)函数f(x)＝3sin x＋cos x的最大值为(　　)

A.  B．2  C．2  D．4

答案　C

解析　由题意可知f(x)＝3sin x＋cos x

＝2＝2sin，

∵－1≤sin≤1，

∴－2≤2sin≤2，

故函数f(x)＝3sin x＋cos x的最大值为2.

故选C.

3．(2019·长沙长郡中学调研)cos 210°cos 75°－2cos215°sin 15°等于(　　)

A.  B．－  C．－  D.

答案　B

解析　根据相应公式可得cos 210°cos 75°－2cos215°sin 15°＝－cos 30°cos 75°－sin 30°cos 15° ＝－(sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°)＝－sin 45°＝－，故选B.

4．(2019·安徽皖南八校联考)若角α满足cos＝，则sin 2α等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　A

解析　cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，又cos＝－sin 2α，所以sin 2α＝.

5．(2019·佛山禅城区调研)已知tan α＝2，则sin 2α＋cos2α等于(　　)

A.  B．－  C．－或1  D．1

答案　D

解析　sin 2α＋cos2α＝＝，

又∵tan α＝2，

∴sin 2α＋cos2α＝＝1.

故选D.

6．(2019·惠州调研)为了得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数 y＝sin的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

答案　B

解析　y＝sin 2x＝sin，故应向右平移个单位长度．故选B.

7．(2019·成都七中诊断)设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知(b＋c)sin(A＋C)＝(a＋c)(sin A－sin C)，则A的大小为(　　)

A．30°  B．60°  C．120°  D．150°

答案　C

解析　∵(b＋c)sin(A＋C)＝(a＋c)(sin A－sin C)，

∴由正弦定理可得(b＋c)b＝(a＋c)(a－c)，

整理可得b2＋c2－a2＝－bc，

∴由余弦定理可得cos A＝＝－，

∴由A∈(0，π)，可得A＝120°.

故选C.

8.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的一部分如图所示．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

答案　A

解析　观察图象知，A＝1，T＝2＝π，ω＝＝2，即y＝sin(2x＋φ)．将点代入得sin＝0，结合|φ|≤，得φ＝，所以y＝sin.

故选A.

9．(2019·吉林通榆一中期中)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案　D

解析　由题意可得函数的周期为2＝2，

∴＝2，解得ω＝π，

∴f(x)＝cos(πx＋φ)，

再根据函数的图象以及五点法作图，可得＋φ＝，

解得φ＝，f(x)＝cos，

令2kπ≤πx＋≤2kπ＋π，可解得2k－≤x≤2k＋，

∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.

故选D.

10．(2019·沈阳东北育才学校联考)函数f(x)＝cos

(ω>0)在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围为(　　)

A.  B.  C.  D．[0,1]

答案　A

解析　函数f(x)＝cos(ω>0)，

当x∈[0，π]时，cos x＋∈，

由题意－1≤cos≤，

结合余弦函数的性质，则π≤ωπ＋≤，

解得≤ω≤，

故ω的取值范围为.

故选A.

11．(2019·赣州十四县(市)联考)在△ABC中，AC＝6，BC＝7，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中0≤x≤1,1≤y≤2，动点P的轨迹所覆盖的面积为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　如图以OA,2OB为邻边作平行四边形OAED，F为AE中点，根据题意知，P点在以BF，BD为邻边的平行四边形上及其内部，

∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB.

在△ABC中，cos∠BAC＝，AC＝6，BC＝7，

∴由余弦定理得，＝，

解得AB＝5或AB＝－(舍去)，

又O为△ABC的内心，

∴内切圆半径r＝，

∴S△AOB＝·r·|AB|，

∴S△AOB＝·S△ABC＝××5×6×

sin∠BAC＝·＝，

∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为.

故选A.

12．(2019·荆州质检)函数f(x)＝2cos xsin(x＋φ)＋m的图象关于直线x＝对称，在区间上任取三个实数a，b，c，总能以f(a)，f(b)，f(c)的长为边构成三角形，则实数m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B.

C．(2，＋∞)   D.

答案　D

解析　函数f(x)＝2cos xsin(x＋φ)＋m的图象关于直线x＝对称，

即f(x)＝2cos x(sin xcos φ＋cos xsin φ)＋m

＝sin 2xcos φ＋cos 2xsin φ＋sin φ＋m＝sin(2x＋φ)＋sin φ＋m ，当x＝时，2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∵|φ|<，

∴φ＝－，即f(x)＝sin－＋m，由三角函数的单调性可知在区间上，f(x)min＝－1＋m，f(x)max＝＋m，若在区间上任取三个实数a，b，c，总能以f(a)，f(b)，f(c)的长为边构成三角形，

则2f(x)min＞f(x)max ＞0 ，

即∴m>，故选D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2019·南充适应性考试)已知sin θ＝，则cos 2θ＝________.

答案　

解析　cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.

14．已知tan＝－，α∈，则sin的值是________．

答案　

解析　∵tan＝－，α∈，∴tan α＝

tan＝＝，∴sin α＝，

cos α＝，∴sin＝sin α＋cos α＝.

15．(2019·山师大附中模拟)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C＝，c＝3，＝，则△ABC的面积等于________．

答案　

解析　∵＝，∴＝，

化简得sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，

∵0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π，

∴A＝B，∴a＝b.

又∵cos C＝，c＝3，

∴cos C＝＝，

解得a＝b＝，且sin C＝，

S△ABC＝absin C＝.

16．(2019·长沙长郡中学调研)已知A，B，C为△ABC的三内角，且其对边分别为a，b，c，若m＝，n＝.若m·n＝，△ABC的周长为a＋4，△ABC的面积为，则a的值是____．

答案　2

解析　根据题意，有

·－2cos ·＝，

整理得·－2cos2＝，

从而求得cos ＝，因为A∈(0，π)，

所以∈，所以＝，所以A＝，

根据题意有b＋c＝4，bcsin ＝，即bc＝4，

根据余弦定理，可得a＝

＝＝＝＝2.

三、解答题(本大题共70分)

17．(10分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f(x)＝2sin2＋cos 2x－1.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有两个不同的解，求实数m的取值范围．

解　f(x)＝1－cos＋cos 2x－1

＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.

(1)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)方程移项得f(x)＝m＋2，方程有两解等价于函数f(x)与函数y＝m＋2有两个交点，画出两函数在区间内的图象如图所示：

由图象知≤m＋2<2，∴－2≤m<0.

18．(12分)(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．

解　(1)f(x)＝＋sin 2ωx

＝sin 2ωx－cos 2ωx＋＝sin＋.

因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，所以＝π，解得ω＝1.

(2)由(1)得f(x)＝sin＋.

因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，

所以－≤sin≤1，

因此0≤sin＋≤，

即f(x)的取值范围为

19．(12分)(2019·佛山禅城区调研)△ABC的对边分别为a，b，c，且满足a＝bcos C＋csin B.

(1)求角B；

(2)若cos A＝，试求cos C的值．

解　(1)已知a＝bcos C＋csin B，由正弦定理得

sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，

sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B,

sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Csin B，

cos Bsin C＝sin Csin B，

因为在△ABC中sin C>0，所以cos B＝sin B，

因为sin B>0，所以cos B>0，所以tan B＝＝1，

因为B∈(0，π)，所以B＝.

(2)因为cos A＝， A∈(0，π)，所以sin A＝＝，

由(1)可知A＋C＝，所以C＝－A,

cos C＝cos＝coscos A＋sinsin A，

cos C＝(sin A－cos A)＝＝.

20．(12分)已知f(x)＝sin(ωx＋φ) 满足f＝－f(x)，若其图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cos B＝bcos A，求f(A)的取值范围．

解　(1)∵f＝－f(x)，

∴f(x＋π)＝－f＝f(x)，

∴T＝π，∴ω＝2，

则f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为g(x)＝sin，而g(x)为奇函数，则有＋φ＝kπ，k∈Z，而|φ|<，则有φ＝－，

从而f(x)＝sin.

(2)∵(2c－a)cos B＝bcos A，

由正弦定理得2sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C，

又C∈，∴sin C≠0，

∴cos B＝，∴B＝.

∵△ABC是锐角三角形，∴0<C＝－A<，

∴<A<，∴0<2A－<，

∴sin∈(0,1]，

即f(A)＝sin的取值范围为(0,1]．

21．(12分)已知向量m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，设函数f(x)＝m·n＋b.

(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f(x)的单调增区间；

(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

解　m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，

f(x)＝m·n＋b＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋1＋b

＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＋b

＝sin＋＋b.

(1)∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，

∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，

解得ω＝3k＋1(k∈Z)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，

∴f(x)＝sin＋＋b，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴函数f(x)的单调增区间为

(k∈Z)．

(2)由(1)知f(x)＝sin＋＋b，

∵x∈，∴2x＋∈，

∴当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；

当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．

又f(0)＝f，

∴当f≤0<f或f＝0时，函数f(x)有且只有一个零点．

即sin ≤－b－<sin 或1＋＋b＝0，

∴满足条件的b∈∪.

22．(12分)(2019·衡水中学考试)如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，∠APC＝60°，AB＝2，AP＋PB＝4.

(1)求BP的长；

(2)若AC＝，求cos∠ACP的值．

解　(1)由已知，得∠APB＝120°，

又AB＝2，AP＋BP＝4，

在△ABP中，由余弦定理，

得(2)2＝BP2＋(4－BP)2－2×BP×(4－BP)cos 120°，

整理，得BP2－4BP＋4＝0.解得BP＝2.

(2)由(1)知，AP＝2，

所以在△ACP中，由正弦定理

得＝，

解得sin∠ACP＝2×＝.

因为2<，所以AP<AC，

从而∠ACP<∠APC，即∠ACP是锐角，

所以cos∠ACP＝ ＝.