2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第10章 阶段强化练（八） (含解析)

阶段强化练(八)

一、选择题

1．(2019·成都棠湖中学月考)4的展开式中的常数项为(　　)

A．－24  B．－6  C．6  D．24

答案　D

解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k24－kCx4－2k，

令4－2k＝0，得k＝2，

所以展开式中的常数项为4C＝24.故选D.

2．(2019·深圳宝安区调研)为美化环境，从黄、白、红、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　从黄、白、红、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有C＝6(个)基本事件，红色和紫色的花在同一花坛有2个基本事件，所以红色和紫色的花不在同一花坛有6－2＝4(个)基本事件，因此概率为＝，故选D.

3．(2019·自贡诊断)从1,3,5三个数中选两个数字，从0,2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)

A．6  B．12  C．18  D．24

答案　C

解析　由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，因此总共有AA＋A＝18(种)．故选C.

4．(2019·北京101中学月考)某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有(　　)

A．6种  B．12种  C．18种  D．24种

答案　C

解析　(1)先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本，共有C＝3(种)选法；(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学生，有A＝6(种)排法，根据分步乘法计数原理，不同的分配方法有3×6＝18(种)．故选C.

5．(2019·湖南省长沙雅礼中学月考)“上医医国”出自《国语·晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　幼童把这三张卡片进行随机排列，

基本事件总数n＝C＝3，

∴该幼童能将这句话排列正确的概率P＝.故选A.

6．(2019·成都七中诊断)将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得(x－2)(x＋m)5，m为常数，若a5＝－7，则a0等于(　　)

A．－2  B．－1  C．1  D．2

答案　D

解析　因为(x＋m)5的通项公式为Tk＋1＝Cx5－kmk，

a5x5＝xCx5－1m1＋(－2)x5＝(5m－2)x5，

∴a5＝5m－2，

又a5＝－7，∴5m－2＝－7，∴m＝－1，

a0＝(－2)C(－1)5＝2，故选D.

7．(2019·贵州遵义航天中学模拟)将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是(　　)

A．60  B．90  C．120  D．180

答案　B

解析　根据题意，分2步进行分析：

①5本不同的书分成3组，一组一本，剩余两个小组每组2本，则有＝15(种)分组方法；

②将分好的三组全排列，对应甲乙丙三人，则有A＝6(种)情况；

则有15×6＝90(种)不同的方法．故选B.

8．在n的展开式中，若常数项为60，则n等于(　　)

A．3  B．6  C．9  D．12

答案　B

解析　Tk＋1＝C()n－kk＝.

令＝0，得n＝3k.

根据题意有2kC＝60，验证知k＝2，故n＝6.

9．(2019·成都高新区诊断)若在(a＋2x)(1－)6关于x的展开式中，常数项为2，则x2的系数是(　　)

A．60  B．45  C．42  D．－42

答案　A

解析　由题意得(1－)6展开式的通项为

Tk＋1＝C(－)k＝(－1)k，k＝0,1,2，…，6，

∴(a＋2x)(1－)6展开式的常数项为(－1)0C·a＝a，

∴a＝2，

∴(2＋2x)(1－)6展开式中x2项为

2×(－1)4Cx2＋2x·(－1)2Cx＝60x2，

∴展开式中x2的系数是60.故选A.

10．已知关于x的二项式n展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)

A．1  B．±1  C．2  D．±2

答案　C

解析　由条件知2n＝32，即n＝5，在通项公式Tk＋1＝C()5－kk＝中，令15－5k＝0，得k＝3.

所以Ca3＝80，解得a＝2.

11．(2019·河北衡水中学调研)某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A，B两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为(　　)

A．72  B．56  C．57  D．63

答案　A

解析　先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有C种，然后将新的4个语文老师分给两个学校有CA种，同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校有CA种，所以共有CCACA＝72(种)分配方法．

12．在二项式的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为(　　)

A．5   B．4

C．3   D．2

答案　C

解析　二项展开式的前三项的系数分别为1，C·，C·2，由其成等差数列，可得2C·＝1＋C·2⇒n＝1＋，所以n＝8(n＝1舍去)．所以展开式的通项Tk＋1＝.若为有理项，则有4－∈Z，所以k可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.

二、填空题

13．(2019·四省联考诊断)展开式中的常数项是________．

答案　－20

解析　5展开式中，x4的项为C·(2x)4·1＝－20x4，故常数项为－20.

14．(2019·汉中质检)(1＋x3)4展开式中的常数项为________．(用数字作答)

答案　24

解析　因为4的通项公式Tk＋1＝C24－kx－k，

令k＝0，T1＝C24－0x0＝16，

令k＝3，T4＝C2x－3＝8x－3，

所以(1＋x3)4的常数项为1×16＋x3·8x－3＝24.

15．(2019·自贡诊断)在n的二项展开式中，所有项的系数之和为1 024，则展开式中常数项的值等于______．

答案　15

解析　因为n的二项展开式中，所有项的系数之和为4n＝1 024，n＝5，故5的展开式的通项公式为Tk＋1＝，令k－10＝0，解得k＝4，可得常数项为T5＝C·3＝15.

16．元宵节灯展后，如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有______种不同取法．(用数字作答)

答案　90

解析　因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串两个灯取下的顺序确定，问题转化为求六个元素排列，其中甲在乙前；丙在丁前，戊在己前的排列数，先将六个元素全排列共有A种排法，因为甲乙顺序确定；丙丁顺序确定，戊己顺序确定，所以六个元素排列甲在乙前、丙在丁前、戊在己前的排法数为＝＝90，即取下6盏不同的花灯，每次取1盏，共有90种不同取法．

三、解答题

17．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数(用数字作答)．

(1)全体排成一行，其中男生甲不在最左边；

(2)全体排成一行，其中4名女生必须排在一起；

(3)全体排成一行，3名男生两两不相邻．

解　(1)先排最左边，除去甲外有C种，余下的6个位置全排有A种，则符合条件的排法共有CA＝4 320(种)．

(2)将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有AA＝576(种)．

(3)先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位，共有A·A＝1440(种)．

18．已知n展开式的二项式系数之和为256.

(1)求n；

(2)若展开式中常数项为，求m的值；

解　(1)∵n展开式的二项式系数之和为256，

∴2n＝256，解得n＝8.

(2)8的通项公式Tk＋1＝Cx8－kk＝mkCx8－2k.

令8－2k＝0，解得k＝4，则常数项m4C＝.

解得m＝±.