2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第11章 阶段自测卷（七） (含解析)

阶段自测卷(七)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2019·广州执信中学测试)从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是(　　)
A．系统抽样 B．分层抽样
C．简单随机抽样 D．各种方法均可
答案　B
解析　从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以应用分层抽样法，故选B.
2．(2019·新乡模拟)某学校的教师配置及比例如图所示，为了调查各类教师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分教师进行调查，在抽取的样本中，青年教师有30人，则样本中的老年教师人数为(　　)

A．10 B．12 C．18 D．20
答案　B
解析　设样本中的老年教师人数为x，由分层抽样的特征得＝，所以x＝12，故选B.
3．九江联盛某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(　　)
A．6,12,18,24,30 B．2,4,8,16,32
C．2,12,23,35,48 D．7,17,27,37,47
答案　D
解析　因为系统抽样是确定出第一个数据后等距抽取的，因此只有D符合，故选D.
4.(2019·陕西汉中中学月考)如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为(　　)

A．3,6 B．3,7 C．2,6 D．2,7
答案　B
解析　＝＝17，解得x＝3.
乙组数据的中位数为17，则y＝7.故选B.
5．(2019·佛山禅城区调研)下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归方程为＝0.8x－155，后因某未知原因第五组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m(如表所示)，则利用回归方程可求得实数m的值为(　　)
x
196
197
200
203
204
y
1
3
6
7
m

A.8.3 B．8 C．8.1 D．8.2
答案　B
解析　根据题意可得
＝×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，
＝×(1＋3＋6＋7＋m)＝.
∵线性回归方程为 ＝0.8x－155，
∴＝0.8×200－155＝5，∴m＝8，故选B.
6.(2018·长沙适应性考试)某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有(　　)

A．a1>a2
B．a2>a1
C．a1＝a2
D．a1，a2的大小与m的值有关
答案　B
解析　由茎叶图知，
a1＝80＋＝84，
a2＝80＋＝85，故选B.
7．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)
A.＝4，s2＝2 B.＝4，s2>2
C.＝4，s2<2 D.>4，s2<2
答案　C
解析　根据题意有＝＝4，
而s2＝<2，故选C.
8．(2019·河北衡水中学模拟)如图的折线图是某农村小卖部2018年一月至五月份的营业额与支出数据，根据该折线图，下列说法正确的是(　　)

A．该小卖部2018年前五个月中三月份的利润最高
B．该小卖部2018年前五个月的利润一直呈增长趋势
C．该小卖部2018年前五个月的利润的中位数为0.8万元
D．该小卖部2018年前五个月的总利润为3.5万元
答案　D
解析　前五个月的利润，一月份为3－2.5＝0.5(万元)，
二月份为3.5－2.8＝0.7(万元)，
三月份为3.8－3＝0.8(万元)，
四月份为4－3.5＝0.5(万元)，
五月份为5－4＝1(万元)，
故选项A，B错误；其利润的中位数0.7万元，故C错误；
利润总和为0.5＋0.5＋0.7＋0.8＋1＝3.5(万元)，故D正确．
9．(2019·湖南五市十校教研教改共同体联考)在一次200千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到18分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13,15)之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为(　　)

A．39 B．35 C．15 D．11
答案　D
解析　由频率分布直方图知，成绩在[13,15)内的频率为(1－0.38－0.32－0.08)×1＝0.22 ，所以成绩在[13,15)内的人数为50×0.22＝11，所以这50名选手中获奖的人数为11.故选D.
10．(2018·雅礼中学月考)某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1 000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k＝20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是(　　)
A．177 B．157 C．417 D．367
答案　B
解析　根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋(8－1)×20＝157.
11．(2018·江西南城一中、高安中学等九校联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.

非一线
一线
总计
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
总计
58
42
100

由K2＝，
得K2＝≈9.616.
参照下表，
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
正确的结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
答案　C
解析　∵K2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.
12．(2019·珠海摸底)如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图，


根据频率分布直方图，下列说法正确的是(　　)
①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值；
②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值；
③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值；
④新网箱频率最高组总产量的估计值低于旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍．
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
答案　B
解析　对于①，旧养殖法的平均数旧＝27.5×0.06＋32.5×0.07＋37.5×0.12＋42.5×0.17＋47.5×0.2＋52.5×0.16＋57.5×0.1＋62.5×0.06＋67.5×0.06＝47.1，
所以s＝(27.5－47.1)2×0.06＋(32.5－47.1)2×0.07＋(37.5－47.1)2×0.12＋(42.5－47.1)2×0.17＋(47.5－47.1)2×0.2＋(52.5－47.1)2×0.16＋(57.5－47.1)2×0.1＋(62.5－47.1)2×0.06＋(67.5－47.1)2×0.06＝107.34，
新养殖法的平均数新＝37.5×0.02＋42.5×0.1＋47.5×0.22＋52.5×0.34＋57.5×0.23＋62.5×0.05＋67.5×0.04＝52.35，
所以s＝(37.5－52.35)2×0.02＋(42.5－52.35)2×0.1＋(47.5－52.35)2×0.22＋(52.5－52.35)2×0.34＋(57.5－52.35)2×0.23＋(62.5－52.35)2×0.05＋(67.5－52.35)2×0.04＝39.727 5，
因为s 所以新网箱产量的方差的估计值低于旧网箱产量的方差的估计值，故①错误．
对于②，旧养殖法中，左边4个矩形的面积和为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034)×5＝0.42，左边5个矩形的面积和为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.04)×5＝0.62，所以其中位数在45和50之间．
新养殖法中，左边三个矩形的面积和为0.34，左边4个矩形的面积和为0.68，所以其中位数在50和55之间．所以新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值，所以②正确．
对于③，因为旧＝47.1，新＝52.35，所以新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值，故③正确．
对于④，旧网箱频率最高组总产量的估计值为47.5×100×0.2＝950，
新网箱频率最高组总产量的估计值为52.5×100×0.34＝1 785，
所以新网箱频率最高组总产量的估计值低于旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍，故④正确．
故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取__________名学生．
答案　60
解析　根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.
14．若一组样本数据3,4,8,9，a的平均数为6，则该组数据的方差s2＝________.
答案　
解析　∵数据3,4,8,9，a的平均数为6，
∴3＋4＋8＋9＋a＝30，解得a＝6，
∴方差s2＝[(3－6)2＋(4－6)2＋(8－6)2＋(9－6)2＋(6－6)2]＝.
15．(2019·自贡诊断)通常，满分为100分的试卷，60分为及格线．若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24,36)，[36,48)，…，[84,96]分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率(实数a的取整等于不超过a的最大整数)，如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，按照这种方式，这次测试的及格率将变为________．(结果用小数表示)

答案　0.82
解析　由题意可知低于36分的为不及格，若某位学生卷面36分，则换算成60分作为最终成绩，由频率分布直方图可得[24,36)组的频率为0.015×12＝0.18，所以这次测试的及格率为1－0.18＝0.82.
16．已知总体的各个体的值从小到大为：－3,0,3，x，y,6,8,10，且总体的中位数为4.若要使该总体的方差最小，则2x－y＝________.
答案　4
解析　根据题意可得，从小到大的数字为－3,0,3，x，y,6,8,10，且总体的中位数为4，
则＝4，即x＋y＝8，
所以数据的平均数为
＝＝4，
所以数据的方差为
s2＝[(－3－4)2＋(0－4)2＋(3－4)2＋(x－4)2＋
(y－4)2＋(6－4)2 ＋(8－4)2＋(10－4)2]
＝[122＋(x－4)2＋(y－4)2]＝[122＋2(x－4)2]，
当x＝4时，s2最小，此时y＝4，
所以2x－y＝2×4－4＝4.
三、解答题(本大题共70分)
17．(10分)(2019·四川攀枝花十二中月考)某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频数分布表.

区间
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50]
人数
25
a
b



(1)求正整数a，b，N的值；
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？
解　(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以a＝25.
且b＝25×＝100，
总人数N＝＝250.
(2)因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150(人)，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为
第1组的人数为6×＝1,
第2组的人数为6×＝1，
第3组的人数为6×＝4,
所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．
18．(12分)(2019·珠海摸底)南方智运汽车公司在我市推出了共享汽车“Warmcar”，有一款车型为“众泰云”新能源共享汽车，其中一种租用方式“分时计费”规则为0.15元/分钟＋0.8元/公里．已知小李家离上班地点为10公里，每天租用该款汽车上、下班各一次，由于堵车及红绿灯等原因每次路上开车花费的时间t(分钟)是一个随机变量，现统计了100次路上开车花费的时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间t (分钟)
[23,25)
[25,27)
[27,29)
[29,31)
[31,33)
[33,35)
[35,37]
频数
2
6
14
36
28
10
4

(1)写出小李上班一次租车费用y(元)与用车时间t(分钟)的函数关系；
(2)根据上面表格估计小李平均每次的租车费用；
(3)“众泰云”新能源汽车还有一种租用方式为“按月计费”，规则为每个月收取租金2 350元，若小李每个月上班时间平均按21天计算，在不计电费的情况下，请你为小李选择一种省钱的租车方式．
解　(1) y＝0.8×10＋0.15t＝8＋0.15t.
(2)平均每次用车时间为

＝30.56(分钟)，
平均一次租车费用＝8＋30.56×0.15＝12.584(元)，
(3)租用方式为“分时计费”时，一个月总费用为12.584×2×21＝528.528(元)，
因为528.528<2 350，
所以，对小李租车仅用于上、下班的情况，采用“分时计费”更省钱．
19．(12分)某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件大约需要多少小时？
(注：＝，＝－ )
解　(1)散点图如图．

(2)由表中数据得iyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，＝54，
∴ ＝＝0.7，
＝3.5－0.7×3.5＝1.05，
∴＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示．

(3)将x＝10代入线性回归方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05，
故预测加工10个零件大约需要8.05小时．
20．(12分)(2019·成都石室中学月考)某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：


(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数；
(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该门市一天获利不低于800元的概率；
(3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值(精确到0.01)．
解　(1)由题意，网店销售量不低于50件的共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50件的天数为(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38，实体店和网店销售量都不低于50件的天数为100×0.24＝24，
故实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数为66＋38－24＝80.
(2)由题意，设该门市一天售出x件，则获利为50x－1 700≥800，即x≥50.
设该门市一天获利不低于800元为事件A，则
P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38.
故该门市一天获利不低于800元的概率为0.38.
(3)因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为
(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5,
销售量低于55的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，
故网店销售量中位数的估计值为
50＋≈52.35(件)．
21．(12分)(2019·四川诊断)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
人数x
10
15
20
25
30
35
40
件数y
4
7
12
15
20
23
27

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数y与进店人数x是否线性相关？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，预测进店人数为80时，商品销售的件数(结果保留整数)．
参考数据：＝25，＝15.43，＝5 075,7()2＝4 375，
7＝2 700， ＝3 245.
参考公式：回归方程＝x＋，
其中＝，＝－.
解　(1)由散点图可以判断，商品件数y与进店人数x线性相关．

(2)因为＝3 245，＝25，＝15.43，
＝5 075,7(x)2＝4 375,7＝2 700，
所以＝＝≈0.78，
＝－ ＝15.43－0.78×25＝－4.07，
所以线性回归方程为＝0.78x－4.07，
当x＝80时，＝0.78×80－4.07≈58(件)．
所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58.
22．(12分)(2019·四川眉山一中月考)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m
不超过m
合计
第一种生产方式



第二种生产方式



合计




根据列联表能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828

解　(1)由茎叶图数据得到m＝80；
第一种生产方式的平均数为＝84，第二种生产方式的平均数为＝74.7，
∴>，∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高．
(2)列联表为

超过m
不超过m
合计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
合计
20
20
40
K2＝
＝＝10>6.635，
∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．