2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第9章第3讲　圆的方程 (含解析)

第3讲　圆的方程

一、选择题

1.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)

A.x2＋y2＝2   B.x2＋y2＝

C.x2＋y2＝1    D.x2＋y2＝4

解析　AB的中点坐标为(0，0)，

|AB|＝＝2，

∴圆的方程为x2＋y2＝2.

答案　A

2.(2017·漳州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)

A.(x－2)2＋(y－1)2＝1   B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1

C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1   D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1

解析　已知圆的圆心C(1，2)关于直线y＝x对称的点为C′(2，1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.

答案　A

3.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2)∪   B.

C.(－2，0)    D.

解析　方程为＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.

答案　D

4.(2017·淄博调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1   B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4   D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析　设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

答案　A

5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①

由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为

y－＝，②

联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，

其到原点的距离为 ＝.故选B.

答案　B

二、填空题

6.若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________.

解析　设圆心C坐标为(2，b)(b<0)，则|b|＋1＝.解得b＝－，半径r＝|b|＋1＝，故圆C的方程为：(x－2)2＋＝.

答案　(x－2)2＋＝

7.(2017·广州模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________.

解析　圆C的方程可化为＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大.

答案　(0，－1)

8.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.

解析　过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，∵kCM＝＝1，

∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.

答案　x＋y－1＝0

三、解答题

9.已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.

解　l2平行于x轴，l1与l3互相垂直.三交点A，B，C连线构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆.

解方程组得所以点A的坐标是(－2，－1).

解方程组得

所以点B的坐标是(1，－1).

线段AB的中点坐标是，

又|AB|＝＝3.

故所求圆的标准方程是＋(y＋1)2＝.

10.在△ABC中，已知|BC|＝2，且＝m，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

解　如图，以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，建立直角坐标系.

则有B(－1，0)，C(1，0)，设点A的坐标为(x，y).

由＝m，得＝m.整理得(m2－1)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x＋(m2－1)＝0.①

当m2＝1时，m＝1，方程是x＝0，轨迹是y轴.

当m2≠1时，对①式配方，得＋y2＝.

所以，点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆(除去圆与BC的交点).

11.若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为(　　)

A.1    B.5

C.4    D.3＋2

解析　由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，

∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，

∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋

≥3＋2 ＝3＋2，

当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立.

∴＋的最小值为3＋2.

答案　D

12.已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________.

解析　由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.

∵△OPQ为直角三角形，

∴圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，

因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

答案　(x－2)2＋(y－1)2＝5

13.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.

解析　设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.

答案　74

14.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；

(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围.

解　(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，

由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)，

且＝b＋5.

解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.

(2)∵kOA＝2，∴可设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.又|BC|＝|OA|＝＝2，

由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝＝＝2，

即＝2，解得m＝5或m＝－15.

∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.

(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，

又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.

∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，

解得2－2≤t≤2＋2.

故所求t的范围为[2－2，2＋2].