2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第9章 阶段强化练（七） (含解析)

阶段强化练(七)

一、选择题

1．(2019·成都诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)

A．长轴长为   B．焦距为

C．短轴长为   D．离心率为

答案　D

解析　由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得

＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，

长轴2a＝1，焦距2c＝，短轴2b＝，

离心率e＝＝.故选D.

2．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)

A．y＝±3x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

答案　C

解析　因为－＝1，

所以a＝，b＝3，渐近线方程为y＝±x，

即为y＝±x，故选C.

3．(2019·河北衡水中学调研)已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与抛物线x2＝8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±3x

C．y＝±x   D．y＝±x

答案　A

解析　∵抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，

∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴＋1＝4，∴m＝，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.

4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　直线l的斜率为－，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以＝，

又b2＋c2＝a2⇒2＋c2＝a2⇒c2＝a2，

所以e＝＝，故选A.

5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A．(1,2]   B．[2，＋∞)

C．(1，]   D．[，＋∞)

答案　A

解析　双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线方程是bx－y＝0，由题意圆x2＋(y－2)2＝1的圆心(0,2)到bx－y＝0的距离不小于1，即≥1，则b2≤3，那么离心率e∈(1,2]，故选A.

6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l：y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　由消去y得

k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，

Δ＝(4k2－8)2－16k4>0，又k>0，解得0<k<1，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝－4，                        ①

x1x2＝4，                                                   ②

根据抛物线定义及|FA|＝2|FB|得x1＋2＝2(x2＋2)，

即x1＝2x2＋2，                                             ③

且x1>0，x2>0，

由②③解得x1＝4，x2＝1，代入①得k2＝，

∵0<k<1，∴k＝.故选D.

7．(2019·唐山模拟)双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则E的离心率为(　　)

A．2  B.  C．2  D．2

答案　C

解析　由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即＝，所以双曲线的离心率为e＝＝＝＝2，故选C.

8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±2x

答案　A

解析　如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.

因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，

所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.

又点M在双曲线上，

所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a.

整理，得b＝a.所以＝.

所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选A.

9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|FR|等于(　　)

A．2  B.  C．2  D．3

答案　A

解析　由抛物线C：y2＝4x，得焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，

因为M，N分别为PQ，PF的中点，

所以MN∥QF，

所以四边形QMRF为平行四边形，|FR|＝|QM|，

又由PQ垂直l于点Q，可知|PQ|＝|PF|，

因为∠NFR＝60°，所以△PQF为等边三角形，

所以FM⊥PQ，所以|FR|＝2，故选A.

10．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D．2

答案　A

解析　因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.

又sin∠MF2F1＝，所以＝，

即|MF2|＝3|MF1|.

由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，

所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，

所以离心率e＝＝.

11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A，B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点(　　)

A.  B．(1,0)  C．(2,0)  D．(－2,0)

答案　B

解析　根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x＝ty＋m(t≠0)，与抛物线方程联立，消元得y2－2ty－2m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因为x轴是∠APB的角平分线，

所以AP，BP的斜率互为相反数，

所以＋＝0，

所以2ty1y2＋(m＋1)(y1＋y2)＝0，

结合根与系数之间的关系，整理得出

2t(－2m)＋2tm＋2t＝0,2t(m－1)＝0，

因为t≠0，所以m＝1，所以过定点(1,0)，故选B.

12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋等于(　　)

A．4  B．2  C．2  D．3

答案　A

解析　如图所示，

设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，

则根据椭圆及双曲线的定义：

|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，

∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，

设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，

则在△PF1F2中，由余弦定理得

4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，

化简得3a＋a＝4c2，

该式可变成＋＝4.故选A.

二、填空题

13．已知双曲线C：x2－y2＝1，则点(4,0)到C的渐近线的距离为________．

答案　2

解析　双曲线C：x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.

14．(2019·新乡模拟)设P为曲线2x＝上一点，A(－，0)，B(，0)，若|PB|＝2，则|PA|＝________.

答案　4

解析　由2x＝，得4x2＝4＋y2(x>0)，

即x2－＝1(x>0)，

故P为双曲线x2－＝1右支上一点，

且A，B分别为该双曲线的左、右焦点，

则|PA|－|PB|＝2a＝2，|PA|＝2＋2＝4.

15．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则|AB|·|CD|的值是________．

答案　1

解析　设A(x1，y1)，D(x2，y2)，

则|AB|·|CD|＝(|AF|－1)(|DF|－1)

＝(x1＋1－1)(x2＋1－1)＝x1x2，

由y＝k(x－1)与y2＝4x联立方程消y得

k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

x1x2＝1，因此|AB|·|CD|＝1.

16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足＝2，△PAB的面积最大值为，△PCD面积的最小值为，则椭圆的离心率为________．

答案　

解析　依题意A(－a,0)，B(a,0)，设P(x，y)，

依题意得|PA|＝2|PB|，

＝2，

两边平方化简得2＋y2＝2，

故圆心为，半径r＝.

所以△PAB的最大面积为·2a·a＝，解得a＝2，

△PCD的最小面积为·2b·＝b·＝，

解得b＝1.

故椭圆的离心率为e＝＝＝.

三、解答题

17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－3)2＋(y－b)2＝r2(r为正数，b∈R)．

(1)若对任意给定的r∈(0，＋∞)，直线l：y＝－x＋r＋4总能把圆M的周长分成3∶1的两部分，求圆M的标准方程；

(2)已知点A(0,3)，B(1,0)，且r＝，若线段AB上存在一点P，使得过点P的某条直线与圆M交于点S，T(其中|PS|<|PT|)，且|PS|＝|ST|，求实数b的取值范围．

解　(1)根据题意可得，圆心到直线的距离为r恒成立，

即＝r，整理得|b－1－r|＝r，

去绝对值符号可得b－1－r＝r或b－1－r＝－r，

根据恒成立，可得b＝1，

所以圆M的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝r2.

(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A，即为|AM|≤3r，

即(0－3)2＋(b－3)2≤9×，解得2≤b≤4，

再考虑点B，即为|BM|≤3r，即(1－3)2＋b2≤10，

解得－≤b≤，

两者取并集，得到b的取值范围是[－，4]．

18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C：y2＝2px过点A(1,1)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．

(1)解　由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.

(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，

代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0.

所以Δ＝(t＋2)2＋8>0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3.

所以k1·k2＝·＝·

＝＝

＝＝－，

所以k1·k2是定值．