2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第6讲　几何概型 (含解析)

第6讲　几何概型

一、选择题

1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概率为P＝.

答案　B

2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是(　　)

A.   B.π   C.2π   D.3π

解析　设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得＝，则S＝3π.

答案　D

3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，

解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”发生的

概率为＝，故选A.

答案　A

4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.

答案　B

5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)

A.   B.1－   C.   D.1－

解析　设“点P到点O的距离大于1”为事件A.

则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部.

∴V正方体＝23＝8，V半球＝π·13×＝π.

∴P(A)＝＝1－.

答案　B

6.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)

A.   B. C.   D.

解析　如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形.所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.

答案　C

7.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是.故选D.

答案　D

8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分.

易知A(4，2)，S正方形＝16，

S阴影＝＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝.

答案　D

9.已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　当点P到底面ABC的距离小于时，

VP－ABC＜VS－ABC.

由几何概型知，所求概率为P＝1－＝.

答案　A

10.设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)

A.＋π   B.＋   C.－   D.－

解析　因为复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，

即点(x，y)在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y＝x左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，即P＝＝－.

答案　D

二、填空题

11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.

解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m.

当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去.

当2＜m＜4时，由题意得＝，解得m＝3.

答案　3

12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________.

解析　因为VA－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V长方体，故所求概率为＝.

答案　

13.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.

解析　直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于3.

则＜3，解之得－＜k＜，故所求事件的概率P＝＝.

答案　

14.(2017·唐山模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________.

解析　顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于()2－4＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于＝－1.

答案　－1

15.在区间[－1，4]内取一个数x，则2x－x2≥的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由2x－x2≥，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4.

∴所求事件的概率P＝＝.

答案　D

16.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km，大圆的半径为4 km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3 km的概率为(　　)

A.   B. C.   D.

解析　根据几何概型公式，小于3 km的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P与点O的距离小于3 km的概率为P(A)＝＝.

答案　B

17.已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为.

答案　A

18.(2017·长春质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sin x∈的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由0≤sin x≤，且x∈[0，π]，

解之得x∈∪.

故所求事件的概率P＝＝.

答案　C

19.(2017·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为(　　)

A.   B. C.   D.

解析　∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P＝＝.

答案　B

20.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　V圆柱＝2π，V半球＝×π×13＝π，＝，故点P到O的距离大于1的概率为.

答案　A

21.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则(　　)

A.p1<p2<    B.p2<<p1

C.<p2<p1    D.p1<<p2

解析　(x，y)构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x＋y≤的区域如图1中阴影部分所示，所以p1＝＝，满足xy≤的区域如图2中阴影部分所示，所以p2＝＝＞，

所以p1＜＜p2，故选D.

答案　D

22.在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为(　　)

A.1－    B.1－

C.1－    D.1－

解析　由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，可得Δ＝(2a2)－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为

Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面积SΩ＝(2π)2＝4π2.

事件A表示函数f(x)有零点，

所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，故P(A)＝＝＝1－.

答案　B

23.(2017·安徽江南名校联考)AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于的概率是________.

解析　依题意知，当相应的弦长大于时，圆心到弦的距离小于＝，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方，所求的概率等于.

答案　

24.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.

解析　由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.

答案　

25.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去

看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.

解析　∵去看电影的概率P1＝＝，

去打篮球的概率P2＝＝，

∴不在家看书的概率为P＝＋＝.

答案　

26.随机地向半圆0＜y＜(a为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为________.

解析　由0＜y＜(a＞0).

得(x－a)2＋y2＜a2.

因此半圆域如图所示.

设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于”，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝＝＋.

答案　＋