高中数学必备考试技能模板10 简单的线性规划问题
展开模板十： 简单的线性规划问题 | |
模板 构建 | 线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下: |
典型 例题 | （2020·新疆维吾尔自治区高三三模）已知变量x，y满足约束条件则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 |
试题 解析 | 画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B. |
题后 反思 | 本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． |
针对训练*举一反三 | |
1．（2020·浙江省高三二模）若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意画出可行域，如图所示， 令，转化可得， 数形结合可得，当直线分别过点、点时，取最小值和最大值， 由可得点，由可得点， 所以，. 所以的取值范围是.故选：A. 2．（2020·江西省高三三模）若点在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，其中，， 设表示定点与连线的斜率， 显然，，故，故选：C． 3．（2020·湖南省长郡中学高三三模）已知实数满足约束条件，其中，若的最大值为40，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可行域如图，设， 由图可知，到最远，则 为最优解， 即且，解得或（舍去） . 故选:C. 4．（2020·湖南省高三三模）已知在关于x，y的不等式组，(其中)所表示的平面区域内，存在点，满足，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件可得可行域，如图所示， 由，得. 因为直线与直线垂直，所以只需圆心到A的距离小于等于1满足题意即可，即，解得， 当时恒存在点满足题意，故实数a的取值范围，故选：D 5．（2020·武汉外国语学校高三三模）已知实数满足，则的最小值为( ) A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示. 令，则 由指数函数的单调性可知，当取得最小值时，目标函数取得最小值. 平移直线，可知当其经过可行域内的点时，取得最小值. 联立得即，则，故. 故选：D 6．（2020·全国高三二模）若满足约束条件，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解析】由线性约束条件，得到图中所在的区域，在图中做出直线， 可以看出三角形区域的所有点都在直线的同一侧， 所以当直线平移经过点时，取得最大值. 由解得， 代入，得.故选：C. 7．（2020·河南省实验中学高三二模）设满足约束条件且的最小值为7，则＝_________. 【答案】3 【解析】根据约束条件画出可行域如下：由，可得出交点， 由可得，当时显然不满足题意； 当即时，由可行域可知当直线经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）； 当即时，由可行域可知的截距没有最小值，即z没有最小值； 当即时，根据可行域可知的截距没有最大值，即z没有最小值.综上可知满足条件时.故答案为：3. 8．（2020·江苏省高三二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点，过圆外一点作圆的切线，切点为.若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由，即，所以， 化简得，， 所以点在圆外且在圆内（含圆上）. 设，易知大圆圆心到直线的距离， 所以，所以当时，有， 结合图形可知，； 当时，有， 结合图形可知，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 9．（2020·宁夏回族自治区高三二模）若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________． 【答案】12 【解析】根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得 目标函数，当过点时，有最大值，且最大值为． 故答案为：． 10．（2020·陕西省榆林中学高三三模）设实数，满足不等式，当时取得最小值时，直线与以为圆心的圆相切，则圆的面积为________． 【答案】 【解析】由实数，满足不等式，作出可行域如图所示阴影部分， 将变形为，平移直线， 当直线过点时，在y轴上的截距最小，此时，取得最小值， 直线方程为， 圆心到直线的距离为：， 所以圆的面积为．故答案为：
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