模板十七：　离散型随机变量高中数学必备考试技能

模板十七：　离散型随机变量

模板

构建

公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:

典型

例题

（2020·肥东县第一中学高三三模）“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

附：

（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望.

试题

解析

（1）

故没有95%以上的吧我认为二者有关

（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，且当或时，；

当或时，；

当或时，；

即的分布列为

可得期望

题后

反思

本题主要独立性检验的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的分布列与数学期望问题，首项要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.

针对训练*举一反三

1．（2020·安徽省高三二模）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.

（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.

①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在（单位：）的概率是多少？

②若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；

（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.

【答案】（1）①；②详见解析；（2）.

【解析】（1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在”发生的概率为.

①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在”为A，则.

②随机变量所有可能的取值为0，1，2.则

，，，

所以

（2）每天对甲类生活物资的需求平均值为

（）

则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，

若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，，

若k户的可能性最大，则，

，得，

解得，由于，故.

2．（2020·江苏省高三二模）一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为，，记.

（1）记取得最大值时的概率；

（2）求的概率分布及数学期望.

【答案】（1）（2）见解析，3

【解析】正四面体底面上的数字可能是1，2，3，4，则的所有取值为0，1，4.

（1）当时，最大，所以.

（2）的可能取值为0，1，2，4，5，8.

，，，

，，.

所以的概率分布为

数学期望.

3．（2020·辽宁省高三三模模）某学校开设了射击选修课，规定向、两个靶进行射击：先向靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向靶射击，命中的概率为，向靶射击，命中的概率为，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核.

（1）求小明同学恰好命中一次的概率；

（2）求小明同学获得总分的分布列及数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，

【解析】（1）记：“小明恰好命中一次”为事件C，“小明射击靶命中”为事件, “该射手第一次射击靶命中”为事件，“该射手第二次射击靶命中”为事件，

由题意可知，

由于

；

（2）可取

，

，，

.

4．（2020·北京高三二模）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文､数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理､化学､生物､历史､地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理､化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理､化学和生物”为其选考方案.

某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？

（2）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理､化学､生物”的概率；

（3）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量，求的分布列和期望.

【答案】（1）人.（2）.（3）分布列答案见解析，期望为

【解析】（1）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有人

所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有

人

（2）选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人.

设“恰好有一人选物理､化学､生物”为事件A

（3）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理､化学和生物；有4人选择物理､化学和历史；有2人选择物理､化学和地理；有2人选择物理､化学和政治.

的可能取值为0，1.

所以的分布列为：

5．（2020·陕西省安康中学高三三模）“互联网”是“智慧城市”的重要内士，市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费．为了解免费在市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：

（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为市使用免费的情况与年龄有关；

（2）将频率视为概率，现从该市岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次．记被抽取的人中“偶尔或不用免费”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差．

附：，其中．

【答案】（1）没有的把握认为；（2）分布列见解析，，．

【解析】（1）由列联表可知，

因为，所以没有的把握认为市使用免费的情况与年龄有关．

（2）由题意可知，的所有可能取值为，

，，

，．

所以的分布列为

，．

6．（2020·湖南省高三三模）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”)时，发现满足.

（1）试确定的所有取值，并求；

（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖.

（）求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；

（）已知学生和都获奖，记两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）（）；（）分布列见解析，.

【解析】（1）根据题意，在内，按组距为5可分成6个小区间，

分别是，

，

由，.

每个小区间的频率值分别是.

由，解得.

的所有取值为，.

（2）（）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.

由（1）知，学生的分数属于区间的概率分别是：，，，，，.

我们用符号（或)表示学生（或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中.

记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”为事件，

则

.

（）学生最终获得一等奖的概率是，

学生最终获得一等奖的概率是，

，

，

，

的分布列为：

.

7．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：

（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用表示抽得甲组学生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

【答案】（1）（2）见解析，

【解析】（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3（人），

从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有（种），

抽取的两名学生来自同一小组的取法共有（种），

所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为

（2）由（1）知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2,

因为

所以随机变量的分布列为：

所求的期望为

8．（2020·陕西省榆林中学高三三模）年月日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量在与之间，日需求量（件）的频率分布如下表所示：

己知其成本为每件元，售价为每件元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件元．

（1）设每天的进货量为，视日需求量的频率为概率，求在每天进货量为的条件下，日销售量的期望值（用表示）；

（2）在（1）的条件下，写出和的关系式，并判断为何值时，日利润的均值最大．

【答案】（1）分类讨论，见解析；（2）20件

【解析】（1）当日需求量时，日销售量为；

日需求量时，日销售量为，

故日销售量的期望为：

当时，；

当时，．

（2），

设每天进货量为，日利润为，

则，，

由，

又∵，，

∴最大，所以应进货20件时，日利润均值最大．

9．（2020·湖北省高三二模）某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.

为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了户居民的月用水量（单位：吨），得到统计表如下：

（1）若用水量不超过吨时，按元/吨计算水费；若用水量超过吨且不超过吨时，超过吨部分按元/吨计算水费；若用水量超过吨时，超过吨部分按元/吨计算水费.试计算：若某居民用水吨，则应交水费多少元？

（2）现要在这户家庭中任意选取户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；

（3）用抽到的户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取户，若抽到户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求的值.

【答案】（1）75元（2）见解析，（3）6

【解析】（1）若某居民用水吨，则需交费（元）；

（2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有户，则可取，

，，，.

故的分布列是

所以；

（3）由题可知从全市中抽取户，其中用电量为第一阶梯的户数满足，

于是为，，

由，

化简得，解得.

因为，所以.

10．（2020·宁夏回族自治区高三二模）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:

(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;

(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;

(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)

【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)

【解析】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.

(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.

，，.

故分布列为：

.

(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.

故的最小值为.