高中数学必备考试技能模板九：　不等式恒成立问题

模板九：　不等式恒成立问题

模板

构建

分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:

典型

例题

（2020·江苏省西亭高级中学高三三模）若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．

试题

解析

令；当时，，不合题意；

当时，，

令，得或，

所以在区间和上单调递减.

因为，且在区间上单调递增，

所以在处取极小值，即最小值为.

若，，则，即.

当时，，当时，则.

设，则.

当时，；当时，，

所以在上单调递增；在上单调递减，

所以，即，所以的最大值为.故答案为：

题后

反思

不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．

针对训练*举一反三

1．（2020·浙江省高三二模）对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，则.

当时，，故单调递减，当时，，不成立；

当时，取，根据图像知，方程有唯一解设为，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

故，且，   

代换得到：，

易知函数在上单调递减，且，故.

，故当时，有最小值为.故选：.

2．（2020·江西省南昌十中高三三模）设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意易知为定值，不妨设，则，又，故，解得：，

即函数的解析式为，，

由题意可知：对恒成立，

即对恒成立，

令，则，

据此可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

函数的最小值为，

结合恒成立的结论可知：的取值范围是.本题选择D选项.

3．（2020·江西省高三二模）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意,若,显然不是恒大于零,故.

,则在上恒成立;

当时,等价于,

因为,所以.

设,由,显然在上单调递增,

因为,所以等价于,即,则.

设,则.

令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,

从而，故.故选:A.

4．（2020·福建省高三三模）若时，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题得对恒成立，

令，

在单调递减，且，

在上单调递增，在上单调递减，

，

又在单调递增，，

的取值范围为.故选：D

5．（2020·四川省高三二模）已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，

令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，

故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，

故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，

而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；

故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；

故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：A．

6．（2020·四川省成都七中高三二模）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知, 对任意恒成立,

设，则函数为过原点,斜率为的直线,

根据题意作图如下：

易知,由图可知,当直线与曲线相切时有最大值,

因为,设切点坐标为,由导数的几何意义知,

，解得,

所以实数的取值范围为.故选:C

7．（2020·广西壮族自治区高三二模）已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】对任意的总有恒成立

，对恒成立，

令，

可得

令，得

当，

当

，，

故

令，得   

当时，

当，

当时，，故选：C.

8．（2020·陕西省高三二模）已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, ,,故填.

9．（2020·四川省高三二模）已知变量 (m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________．

【答案】

【解析】不等式两边同时取对数得，

即x2lnx1＜x1lnx2，又

即成立，

设f（x）＝，x∈（0，m），

∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，

函数的导数，

由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，

即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故答案为：e

10．（2020·四川省成都七中高三二模）若函数恒成立,则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】由题意得,只要即可，

，

当时，令解得，

令，解得，单调递减，

令，解得，单调递增，

故在时，有最小值，，

若恒成立，则，解得；

当时，恒成立;

当时，，单调递增，,不合题意,舍去.

综上,实数的取值范围是.故答案为：