模板四： 三角函数的性质高中数学必备考试技能
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模板 构建 | 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路为: |
典型 例题 | （2020·陕西省安康中学高三三模）已知函数的两个零点之差的绝对值的最小值为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数的最小正周期为；②函数的图象关于点()对称； ③函数的图象关于直线对称；④函数在上单调递增. A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①③ |
试题 解析 | 由题意知，函数的最小正周期是， 则，所以， 所以将函数的图象向左平移个单位长度得到 函数的图象， 即，则函数的最小正周期为，故①正确； 令，解得， 令，则，则函数的图象关于点对称，故②正确； 令，解得， 令，2，得函数的图象关于直线对称，故③错误； 令，得， 所以函数在上单调递增，故④错误；故选：B |
题后 反思 | 本题考查函数解析式的求解和正弦函数的周期性、对称性、单调性;考查运算求解能力和整体换元思想;正确求出函数的解析式和熟练掌握正弦函数的有关性质是求解本题的关键. |
针对训练*举一反三 | |
1．（2020·安徽省高三三模）已知函数的部分图象如图所示.有下列四个结论：①﹔②在上单调递增；③的最小正周期；④的图象的一条对称轴为.其中正确的结论有( ) A．②③ B．②④ C．①④ D．①② 【答案】A 【解析】因为，所以，由于，所以或； 由于图象最高点在轴左侧，所以，①不正确； 因为，所以，解得，， 令得，周期为，③正确； 由可得，令可得增区间为，②正确； 因为时，，所以不是对称轴，④不正确；故选：A. 2．（2020·湖北省高三三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数在上单调递减 B．将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 C． D．当时， 【答案】C 【解析】依题意得，， 所以当时，， 当，即时，函数递减， 当，即时，函数递增， 所以函数在上先减后增，故A错误； 将函数的图象向左平移个单位长度后得到 函数解析式为， 因为，其为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，故B错误； 因为， 所以是函数图象的一条对称轴，故C正确； 当时，，则，故D错误. 故选：C 3．（2020·宁夏回族自治区高三二模）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向左平移个单位得： 又为偶函数 ， ，
当时， ，本题正确选项： 4．（2020·北京首都师大二附高三三模）若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 若函数在区间，上单调递增， 在区间，上，，， 则当最大时，，求得，故选：C． 5．（2020·湖南省高三二模）已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合图象可知，A＝2，f（x）＝2sin（ωx+φ）， ∵f（0）＝2sinφ＝1，∴sinφ， ∵|φ|，∴φ，f（x）＝2sin（ωx）， 结合图象及五点作图法可知，ω2π， ∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x），其对称轴x，k∈Z， ∵f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立， ∴f（a+x）＝f（a﹣x）即f（x）的图象关于x＝a对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a，故选B． 6．（2020·安徽省高三二模）函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度后得到，则下列是函数的图象的对称轴方程的为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象向右平移个单位长度后得到, 根据题意可得， 所以，，所以，， 又，所以， 所以， 由，， 得的对称轴为：，， 时，对称轴是：，故选：A 7．（2020·江苏省高三三模）函数，其中．若，是方程的两个不同的实数根，且的最小值为．则当时，的最小值为______． 【答案】 【解析】由题可得,的最小值为,即函数的最小正周期为,所以,所以, 因为,所以,所以 所以，故答案为： 8．（2020·六盘山高级中学高三二模）函数 的最小值是_________ 【答案】1 【解析】因为，所以， 因为，故，所以， 所以当时，的最小值为． 9．（2020·湖北省高三二模）已知，函数的图像在区间上有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】函数的图像在区间上有且仅有一条对称轴，， 函数的周期，， 令，则， ，整理得，， 且， 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，无解； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 10．（2020·江苏省高三三模）若函数关于直线对称，则的最小正值为_______. 【答案】 【解析】因为若函数关于直线对称， 所以，kZ，则，kZ， 所以的最小正值为.故答案为：
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