2021高考数学一轮复习学案：第十章10.4离散型随机变量及其概率分布、均值与方差

§10.4　离散型随机变量及其概率分布、均值与方差

1．离散型随机变量的概率分布

(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

为离散型随机变量X的概率分布表．

(3)离散型随机变量的概率分布的性质：

①pi≥0，i＝1,2，…，n；

②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两点分布

如果随机变量X的概率分布表为

其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．

3．均值

(1)若离散型随机变量X的概率分布为

则称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望．

(2)离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(3)均值的性质

E(c)＝c，E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b，c为常数)．

4．方差

(1)若离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，…，xn，且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，则称：

V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn为X的方差．

(2)σ＝，叫标准差．

(3)方差的性质

a，b为常数，则V(aX＋b)＝a2V(X)．

5．超几何分布

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么

P(X＝r)＝ (r＝0,1,2，…，l)．

即

其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　)

(2)离散型随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)

(3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　√　)

(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　√　)

题组二　教材改编

2．设随机变量X的概率分布如下：

则p为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由＋＋＋＋p＝1，

∴p＝1－＝.

3．已知X的概率分布为

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)

A.  B．4  C．－1  D．1

答案　A

解析　E(X)＝－＋＝－，

E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.

4．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________．

答案　0,1,2,3

解析　因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.

题组三　易错自纠

5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)

A．至少取到1个白球

B．至多取到1个白球

C．取到白球的个数

D．取到的球的个数

答案　C

解析　选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.

6．(多选)设离散型随机变量X的概率分布为

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)

A．q＝0.1   B．E(X)＝2，V(X)＝1.4

C．E(X)＝2，V(X)＝1.8   D．E(Y)＝5，V(Y)＝7.2

答案　ACD

解析　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；

又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，

V(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，

故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，V(Y)＝4V(X)＝7.2，故D正确．故选ACD.

7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．

答案　

解析　由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，

故P(X＝4)＝＝.

概率分布的求法

例1　甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的概率分布．

解　随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝××＝，

P(X＝1)＝××＋××＋××＝，

P(X＝2)＝××＋××＋××＝，

P(X＝3)＝××＝.

∴随机变量X的概率分布为

思维升华　求离散型随机变量X的概率分布的步骤

(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值．

(2)求X取每个值的概率．

(3)写出X的概率分布．

求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．

跟踪训练1　在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：

(1)该顾客中奖的概率；

(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布．

解　(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，

所以该顾客中奖的概率

P＝＝＝.

.

(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60，

且P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，

P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，

P(X＝60)＝＝.

所以X的概率分布为

均值与方差

例2　某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；

项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．

解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的概率分布为

∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200.

V(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×

＝35 000，

若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的概率分布为

∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.

V(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.

∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)<V(X2)，

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．

综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．

思维升华　离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略

(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解．

(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．

(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．

跟踪训练2　为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E(ξ)，方差V(ξ)．

解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，

甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为＝，＝.

两人都付0元的概率为P1＝×＝，

两人都付40元的概率为P2＝×＝，

两人都付80元的概率为P3＝×＝，

则两人所付费用相同的概率为

P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.

(2)ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160，则

P(ξ＝0)＝×＝，

P(ξ＝40)＝×＋×＝，

P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，

P(ξ＝120)＝×＋×＝，

P(ξ＝160)＝×＝.

所以ξ的概率分布为

E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.

V(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.

超几何分布

例3　PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示：

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．

解　(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，

则P(A)＝＝.

(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

∴P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的概率分布为

思维升华　(1)超几何分布的两个特点

①超几何分布是不放回抽样问题．

②随机变量为抽到的某类个体的个数．

(2)超几何分布的应用条件

①两类不同的物品(或人、事)．

②已知各类对象的个数．

③从中抽取若干个个体．

跟踪训练3　某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的概率分布及均值．

解　因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布．

X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3)．

由公式可得P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

所以X的概率分布为

所以X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.