2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习规范答题提分课(三)
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规范答题提分课(三)
传授答题章法 点拨得分技巧
数列类解答题
典型例题 | 题目拆解 | ||||||||||||||||||||||||||||||
(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列. (2)求{an}和{bn}的通项公式. | 本题可拆解成以下几个小问题: (1)①将已知条件中的两式相加,根据等比数列的定义证明{an+bn}是等比数列; ②将已知条件中的两式相减,根据等差数列的定义证明{an-bn}是等差数列; (2)①根据等比和等差数列的通项公式分别求出{an+bn}与{an-bn}的通项公式; ②将{an+bn}与{an-bn}的通项公式相加减分别求出{an}和{bn}的通项公式. | ||||||||||||||||||||||||||||||
标准答案 | 阅卷现场 | ||||||||||||||||||||||||||||||
【解析】(1)由题意可知4an+1= 3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4,a1+b1=1,a1-b1=1,…………① 所以4an+1+4bn+1=3an-bn+4+3bn-an-4 =2an+2bn, 即an+1+bn+1=(an+bn), 所以数列{an+bn}是首项为1、公比为的等比数列, …………② an+bn=, …………③ 因为4an+1-4bn+1=3an-bn+4- (3bn-an-4)=4an-4bn+8, 所以an+1-bn+1=an-bn+2, 所以数列{an-bn}是首项1、公差为2的等差数列, …………④ an-bn=2n-1. …………⑤ (2)由(1)可知,an+bn=, an-bn=2n-1, 所以an=(an+bn+an-bn)=+n-, ………… ⑥ bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+. …………⑦ |
第(1)问踩点得分说明 ①根据条件求出首项得1分; ②两式相加后利用定义证明是等比数列得1分; ③求出通项公式得1分; ④两式相减后利用定义证明是等差数列得2分; ⑤求出通项公式得1分; 第(2)问踩点得分说明 ⑥由第(1)问的结论两式相加得通项公式得3分; ⑦由第(1)问的结论两式相减得通项公式得3分. | ||||||||||||||||||||||||||||||
高考状元·满分心得
1.解答数列类大题的关键
熟练把握等差数列与等比数列的定义、通项公式、求和公式及其相应的性质是解数列问题的关键.
2.化归与转化思想的运用
对于给定的数列不是等差与等比数列模型,应利用化归思想或构造思想,努力使之转化为等比数列与等差数列模型求解.
3.数列求和的解题技巧
重点要掌握等差数列、等比数列求和公式以及常用的“错位相减法”“裂项相消法”,解决问题的关键在于数列的通项公式,根据通项公式的特征准确选择相应的方法.
跟踪演练·感悟体验
1.(2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式.
(2)记cn=,n∈N*,证明:c1+c2+…+cn<2,n∈N*.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由题意得
a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,
解得a1=0,d=2.
从而an=2n-2,n∈N*.
由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得
(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).
解得bn=(-SnSn+2).
所以bn=n2+n,n∈N*.
(2)cn===,n∈N*.
我们用数学归纳法证明.
①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
②假设n=k时不等式成立,即c1+c2+…+ck<2.
那么,当n=k+1时,
c1+c2+…+ck+ck+1<2+
<2+<2+
=2+2(-)=2.
即当n=k+1时不等式也成立.
根据①和②,不等式c1+c2+…+cn<2对任意n∈N*成立.
2.(2019·青岛模拟)已知数列{an}的各项均为正数,a1=3,且对任意n∈N*,2an为+3和1的等比中项,数列{bn}满足bn=-1(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}为等比数列,并求{an}通项公式.
(2)若cn=log2bn,{cn}的前n项和为Tn,求使Tn不小于360的n的最小值.
【解析】(1)由题意得:(2an)2=(+3)×1,即=4-3,
所以-1=4-3-1=4-4=4(-1).
因为bn=-1,所以bn+1=4bn,
所以数列{bn}成等比数列,首项为b1=-1=8,公比为4,
所以bn=b1·4n-1=8×22n-2=22n+1,
所以-1=22n+1,又{an}为正项数列,所以an=.
(2)由(1)得:cn=log2bn=log222n+1=2n+1,
所以Tn=c1+c2+…+cn=(2×1+1)+(2×2+1)+…+(2n+1)
=2×(1+2+3+…+n)+n=2×+n=n2+2n,
所以Tn=n2+2n≥360,即n2+2n-360≥0⇒(n+20)(n-18)≥0,
所以n≥18或n≤-20(舍去),
所以Tn不小于360的n的最小值为18.
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