2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习规范答题提分课(四)

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规范答题提分课(四)

立体几何类解答题

高考状元·满分心得

1.空间中的平行与垂直问题的关键

熟练把握空间中平行与垂直的判定定理是解题的关键.

2.利用向量法求线面角和二面角的关注点

建立恰当的空间直角坐标系,利用待定系数法求出相应平面的法向量是解题的关键,特别是有关点的坐标的正确书写一定要谨慎.

3.定理的条件要齐全

在运用定理证明问题时,注意条件的齐全性,例如本题的第(1)问,一定要指明线在面内、线在面外这些条件,否则要适当扣分.

4.求点的坐标的注意点

一定要注意坐标的正、负值,这是极其容易出错的地方.

跟踪演练·感悟体验

1.(2019·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且=.

(1)求证:CD⊥平面PAD.

(2)求二面角F-AE-P的余弦值.

(3)设点G在PB上,且=.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.

【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,

所以PA⊥CD,

又因为CD⊥AD,AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,

所以CD⊥平面PAD.

(2)在PD上取点M,使=,连接FM,

在△PCD中,又=,

所以FMCD,FM=,

由(1)知,CD⊥平面PAD,所以FM⊥平面PAD,又AE⊂平面PAD,

所以FM⊥AE,

在△PAD中,E是PD中点,PA=AD=2,

所以AE⊥PD,PD=2,

又因为FM,PD⊂平面EFM,FM∩PD=M,

所以AE⊥平面EFM,又EF⊂平面EFM,

所以AE⊥EF,

所以∠FEM为二面角F-AE-P的平面角.

在△PCD中,PD=2,PE=,

PM=PD=,EM=,

在Rt△EFM中,EF==,

cos∠FEM==,

所以二面角F-AE-P的余弦值为.

(3)取CF中点N,连接DN,GN,

在△PDN中,E,F分别为PD,PN的中点,所以EF∥DN,

在△PBC中,==,

又BC=3,所以GN∥BC,GN=2,

又因为AD∥BC,AD=2,

所以GNAD,四边形ADNG是平行四边形,

所以AG∥DN,又因为EF∥DN,

所以AG∥EF,

又因为AG与平面AEF有公共点,

所以AG⊂平面AEF.

2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,PA⊥BD.

(1)求证:PB=PD.

(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF⊥平面PCD,求直线PB与平面PCD所成角的大小.

【解析】(1)连接AC与BD交于点O,连接PO,

因为底面ABCD是正方形,

所以AC⊥BD且O为BD的中点.

又PA⊥BD,PA∩AC=A,

所以BD⊥平面PAC,

由于PO⊂平面PAC,

故BD⊥PO.

又BO=DO,

故PB=PD.

(2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,因为E,F分别为PC,AB的中点,

所以EQCDAF,

所以AFEQ为平行四边形,

EF∥AQ,

因为EF⊥平面PCD,

所以AQ⊥平面PCD,因为PD⊂平面PCD,

所以AQ⊥PD,又PD的中点为Q,

所以AP=AD=.

由AQ⊥平面PCD,又可得AQ⊥CD,

又AD⊥CD,AQ∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,

所以CD⊥PA,又BD⊥PA,BD∩CD=D,

所以PA⊥平面ABCD.

由题意,AB,AP,AD两两垂直, 以A为坐标原点,向量,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(,0,0),Q,

D(0,,0),P(0,0,),=,

=(,0,-),

为平面PCD的一个法向量.

设直线PB与平面PCD所成角为θ,

则sin θ=cos<,>==,

所以直线PB与平面PCD所成角为.

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