2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.2　直线的交点坐标与距离公式 学案

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核心考点·精准研析

考点一　两直线的位置关系 

1.直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的 (　　)

A.充分不必要条件　  B.必要不充分条件

C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件

2.(2020·济南模拟)“m=3”是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:(m-3)x+2y-5=0垂直”的              (　　)

A.充分不必要条件　  B.必要不充分条件

C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件

3.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,则当l1∥l2时,a的值为________. 

4.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+ay+a2-1=0,则当l1⊥l2时, a的值为________.              世纪金榜导学号 

【解析】1.选C.由l1∥l2得-m(m-1)=1×(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1∥l2”的充要条件.

2.选A.由l1⊥l2得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.

3.当a=1时,l1:x+2y+6=0,

l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;

当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1∥l2可得 解得a=-1.

综上可知,a=-1.

答案:-1

【一题多解】由l1∥l2知

即⇒⇒a=-1.

答案:-1

4.方法一:当a=0时,l1:2y+6=0,l2:x=1,l1与l2垂直,故a=0符合;

当a≠0时,l1:y=-x-3,l2:y=-x-,

由l1⊥l2,得·=≠-1,所以此时不成立.

方法二:因为l1⊥l2,所以A1A2+B1B2=0,

即a+2a=0,得a=0.

答案:0

1.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”

2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

考点二　两条直线的相交、距离问题 

【典例】1.(2020·北京模拟)已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0, 则点N的坐标是              (　　)

A.(-2,-1)　 　B.(2,3)　  C.(2,1)　 D.(-2,1)

2.(2020·广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________. 

3.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是________.              世纪金榜导学号 

【解题导思】

【解析】1.选B.因为点N在直线x-y+1=0上,

所以可设点N坐标为(x0,x0+1).

根据经过两点的直线的斜率公式,得kMN==.

因为直线MN垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率k=-,

所以kMN×=-1,即=2,解得x0=2.因此点N的坐标是(2,3).

2.由题意得,点P到直线4x-3y-1=0的距离为=.

又≤3,即|15-3a|≤15,解之得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10].

答案:[0,10]

3.依题意知,=≠,解得a=-4,c≠-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,又两平行线之间的距离为,所以=,解得c=2或-6.

答案:2或-6

1.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.

2.处理距离问题的两大策略

(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.

(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.

3.利用距离公式应注意

(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;

(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.

1.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为________. 

2.直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________. 

【解析】1.由得

所以l1与l2的交点坐标为(1,3).

设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0,则1+2×3+c=0,所以c=-7.

所以所求直线方程为x+2y-7=0.

答案:x+2y-7=0

2.方法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.

由题意知=,

即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,

所以直线l的方程为y-2=-(x+1),

即x+3y-5=0.

当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.

方法二:当AB∥l时,有k=kAB=-,

直线l的方程为y-2=-(x+1),

即x+3y-5=0.

当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4),

所以直线l的方程为x=-1.

故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.

答案:x+3y-5=0或x=-1

考点三　对称问题 

点关于点的对称

【典例】过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________. 

【解析】设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.

答案:x+4y-4=0

点P与直线l与直线l1,l2的交点有何关系?

提示:点P是直线l与直线l1,l2的交点所连接线段的中点.

点关于直线的对称

【典例】(2020·淮安模拟)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________.              世纪金榜导学号 

【解析】设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',

所以

解得a=1,b=0.

又反射光线经过点N(2,6).

所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.

答案:6x-y-6=0

点M和它的对称点M'的连线段MM'与直线l有什么关系?

提示:垂直

直线关于直线对称

【典例】(2019·郑州模拟)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是              世纪金榜导学号(　　)

A.x-2y+3=0　  B.x-2y-3=0

C.x+2y+1=0　  D.x+2y-1=0

【解析】选A.设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),

因为PP'的中点在直线x-y+2=0上,

又因为kPP'×1=-1,

所以由　得

由点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,

所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.

是否可以在直线2x-y+3=0上取一个特殊点求解?

提示:可以取直线2x-y+3=0上两点并求出其关于直线x-y+2=0的对称点,根据两对称点求直线方程.

1.(2020·岳阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 (　　)

A.x+2y-1=0　  B.2x+y-1=0

C.2x+y-3=0　  D.x+2y-3=0

【解析】选D.方法一:设所求直线上任一点为(x,y),则它关于x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.

方法二:根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x=1上知选D.

2.已知直线l:3x-y+3=0,求:

(1)点P(4,5)关于l的对称点.

(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.

(3)直线l关于(1,2)的对称直线.

【解析】(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y'),因为kPP'·kl=-1,即×3=-1.①

又PP'的中点在直线3x-y+3=0上,

所以3×-+3=0.②由①②得

把x=4,y=5代入③④得x'=-2,y'=7,

所以点P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).

(2)用(1)中的③④分别代换x-y-2=0中的x,y,

得关于l对称的直线方程为--2=0,化简得7x+y+22=0.

(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),

关于(1,2)的对称点M'(x',y'),

所以=1,x'=2,=2,y'=1,所以M'(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l,所以k=3,所以对称直线方程为y-1=3×(x-2),

即3x-y-5=0.

已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小.

【解析】设A关于直线l的对称点为A'(m,n),

则解得

故A'(-2,8).P为直线l上的一点,

则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,

当且仅当B,P,A'三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|A'B|,点P即是直线A'B与直线l的交点,解方程组得

故所求的点P的坐标为(-2,3).

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