2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析8.3　等比数列及其前n项和 学案

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核心考点·精准研析

考点一　等比数列基本量的运算 

1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,则a6等于              (　　)

A.16 B.32 C.64 D.128

2.(2020·赣州模拟)Sn是等比数列{an}的前n项和,若S4,S3,S5成等差数列,则{an}的公比q的值为              (　　)

A.  B.-2 C.1 D.-2 或1

3.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= (　　)

A.21 B.42 C.63 D.84

4.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=              (　　)

A.16 B.8 C.4 D.2

5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{an}的公比为              (　　)

世纪金榜导学号

A.-2 B.2 C.-3 D.3

【解析】1.选C.因为S3=14,a3=8,所以q≠1,

所以,

解得a1=2,q=2或a1=18,q=-(舍),

所以a6=a1q5=2×32=64.

2.选B.由S4,S3,S5成等差数列知等比数列{an}的公比q≠1,因此得2S3=S5+S4,即

=+,

化简整理得q3(q+2)(q-1)=0,

所以q=0(舍去),q=1(舍去)或q=-2.故q=-2.

3.选B.设数列{an}的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.

4.选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,

由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,

因为a1>0且q>0,则可解得q=2,

又因为a1(1+q+q2+q3)=15,

即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.

5.选B.设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为=

=qm+1=9,所以qm=8.所以==qm=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.

把T1条件“S3=14,a3=8”改为“a3=9,S3=27”其他条件不变,则公比q的值为              (　　)

A.1   B.-

C.1或-  D.-1或 -

【解析】选C.当公比q=1时,

a1=a2=a3=9,所以S3=3×9=27.符合题意.

当q≠1时,S3=,

所以27=,所以a1=27-18q,

因为a3=a1q2,所以(27-18q)·q2=9,

所以(q-1)2(2q+1)=0,所以q=-.

综上q=1或q=-.

　解决等比数列有关问题的常用思想方法

(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解.

(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,将q分为q=1和q≠1两种情况进行讨论.

【秒杀绝招】

1.应用转化法解T2

选B.由S4,S3,S5成等差数列,得2S3=S5+S4,即2(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得a5=-2a4,所以=-2,即q=-2.故选B.

2.应用等比数列性质解T3:

选B.设数列{an}的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2

(q2=-3舍去),所以a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,所以a3+a5+a7=42.

考点二　等比数列的判断与证明 

【典例】

1.已知数列{an}中,a1=1,若an=2an-1+1(n≥2),则a5的值是________. 

【解题导思】

【解析】因为an=2an-1+1,

所以an+1=2(an-1+1),所以=2,

又a1=1,所以{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,即an+1=2×2n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31.

答案:31

【一题多解】由an=2an-1+1(n≥2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5,当n=2得a2=3,同理得a3=7,a4=15,a5=31.

答案:31

2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),若bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列.

【解题导思】

【证明】因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,

所以===

=2.

因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.

所以b1=a2-2a1=3.

所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.

若本例2中的条件不变,试求{an}的通项公式.

【解析】由题知bn=an+1-2an=3·2n-1,

所以-=,

故是首项为,公差为的等差数列.

所以=+(n-1)·=,

所以an=(3n-1)·2n-2.

1.等比数列的四种常用判定方法

(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.

(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且=an·an+2(n∈N*),则{an}是等比数列.

(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.

(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.

2.证明某数列不是等比数列

若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

(2018·全国卷Ⅰ改编)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.

(1)求b1,b2,b3.

(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由.

(3)求{bn}的前10项和S10.

【解析】(1)由条件可得an+1=an.将n=1代入得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.

(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

理由:由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由(2)可得Sn==2n-1,所以S10=210-1=1 023.

考点三　等比数列的性质及其应用 

等比数列项的性质应用

【典例】已知等比数列{an}中,a4+a8=-2,则a6(a2+2a6+a10)的值为 (　　)

A.4 B.6 C.8 D.-9

【解析】选A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2+a6a10=+2a4a8+=(a4+a8)2,因为a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.

1.等比数列性质的应用可以分为哪些变形?

提示:通项公式的变形、等比中项的变形、前n项和公式的变形.

2.在解决等比数列项的性质的有关问题时,如何迅速挖掘隐含条件利用性质解题?

提示:在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,若项数和相等,则利用等比数列的性质进行运算.

【提醒】根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

等比数列中的最值与范围问题

【典例】设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.              世纪金榜导学号 

【解析】设等比数列{an}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,所以a1=8.

故a1a2…an==23n·==.

记t=-+=-(n2-7n),

结合n∈N*可知n=3或4时,t有最大值6.

又y=2t为增函数,从而a1a2…an的最大值为26=64.

答案:64

求等比数列中的最值与范围问题有哪些方法?

提示:求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解.有时也应用基本不等式.

1.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2= (　　)

A.2 B.1 C.  D.

【解析】选C.设公比为q,因为a3a5=,a3a5=4(a4-1),所以=4(a4-1),所以-4a4+4=0,所以a4=2.又因为q3===8,所以q=2,所以a2=a1q=×2=.

2.已知正数组成的等比数列{an},若a1·a20=100,那么a7+a14的最小值为(　　)

A.20　 B.25   C.50　 D.不存在

【解析】选A.(a7+a14)2=++2a7·a14≥4a7a14=4a1a20=400(当且仅当a7=a14时取等号).所以a7+a14≥20.

1.已知数列{an}满足log2an+1=1+log2an(n∈N*),且a1+a2+a3+…+a10=1,则log2(a101+

a102+…+a110)=________. 

【解析】因为log2an+1=1+log2an,可得log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列{an}是以a1为首项,2为公比的等比数列,又a1+a2+…+a10=1,所以a101+a102+…+a110=

(a1+a2+…+a10)×2100=2100,所以log2(a101+a102+…+a110)=log22100=100.

答案:100

2.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),求q的取值范围.

【解析】因为数列{an}为等比数列,Sn>0,

所以a1=S1>0,q≠0.当q=1时,Sn=na1>0;

当q≠0且q≠1时,Sn=>0,即>0,

所以或

所以-1<q<0或0<q<1或q>1.

综上,q的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).

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