2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析8.1　数列的概念与简单表示法 学案

温馨提示：

    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

核心考点·精准研析

考点一　数列的有关概念及通项公式 

1.数列{an}中,a1=1,当n≥2且n∈N*时,an=,则a3+a5= (　　)

A.   B.  C.  D.

2.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3 (　　)

A.不是数列{an}中的项

B.只是数列{an}中的第2项

C.只是数列{an}中的第6项

D.是数列{an}中的第2项或第6项

3.数列,-,,-,…的一个通项公式为 (　　)

A.an=(-1)n·  B.an=(-1)n·

C.an=(-1)n+1·  D.an=(-1)n+1·

4.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则++…+等于              (　　)

世纪金榜导学号

A. B. C. D.

5.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=(　　)

世纪金榜导学号

A.2+ln n  B.2+(n-1)ln n

C.2+nln n D.1+n+ln n

【解析】1.选D.因为an=(n≥2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.

2.选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.

3.选D.该数列是分数形式,分子为奇数2n+1,分母是指数2n,各项的符号由(-1)n+1来确定,所以D选项正确.

4.选D.由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,

an-an-1=(n-1)+1,以上等式相加,得an-a1=2+3+…+(n-1)+n,把a1=1代入上式得an=1+2+3+…+(n-1)+n=,

所以==2,

则++…+=2=2=

.

5.选A.因为an+1=an+ln,

所以an-an-1=ln=ln(n≥2),

所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

=ln+ln+…+ln+ln 2+2

=2+ln=2+ln n(n≥2).

又a1=2适合上式,故an=2+ln n(n∈N*).

将T3改为已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是              (　　)

A.an=(-1)n-1+1 B.an=

C.an=2sin  D.an=cos(n-1)π+1

【解析】选C.对n=1,2,3,4进行验证,an=2sin不合题意.

1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略

(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;

②相邻项的变化特征;

③各项的符号特征和绝对值特征;

④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;

⑤对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.

2.递推公式推导通项公式的方法

(1)累加法:an+1-an=f(n).

(2)累乘法: =f(n).

(3)待定系数法:an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0).把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解.

【秒杀绝招】

1.代入法解T2根据选项可直接把n=2或n=6代入检验.

2.特值检验法解T3先利用排除法排除A、B,然后可直接把n=3代入检验排除C.

考点二　an与Sn的关系及其应用 

【典例】1.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1)(n∈N*),则an= (　　)

A.2n B.2n-1 C.2n D.2n-1

2.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an. 世纪金榜导学号

【解题导思】

【解析】1.选C.当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=

2an-2an-1,

所以an=2an-1,

所以数列{an}为首项为2,公比为2的等比数列,

所以an=2n.

【一题多解】选C.利用递推关系求出a1=2,a2=4,a3=8,易确定C.

2.由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1Sn,得-=-1,

故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-(n-1)=-n,

所以Sn=-.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=,

故an=

【答题模板微课】本例题2的模板化过程:

建模板:当n=1时,a1=S1=-1, …………求首项

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=,…………作差求通项

经检验a1=-1不适合an=, …………检验

故an= …………结论

套模板:已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1,则an=________. 

【解析】当n=1时,a1=S1=1+2+1=4, …………求首项

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1, …………作差求通项

经检验a1=4不适合an=2n+1, …………检验

故an= …………结论

答案:

1.已知Sn求an的三个步骤

(1)先利用a1=S1求出a1.

(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.

(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.

2.Sn与an关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.

(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.

1.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式是________. 

【解析】当n=1时,a1=S1=2-3=-1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=

2n-2n-1=2n-1.当n=1时不满足,故an=

答案:an=

2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= (　　)

A.2n-1   B.

C.  D.

【解析】选B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),

即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,

所以Sn=.

【变式备选】

　　 已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式.

(1)Sn=2n2-3n.(2)Sn=3n+b.

【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.

由于a1也适合此等式,所以an=4n-5.

(2)a1=S1=3+b,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.

当b=-1时,a1适合此等式;

当b≠-1时,a1不适合此等式.

所以当b=-1时,an=2·3n-1;

当b≠-1时,an=

考点三　数列的性质及其应用 

数列的单调性

【典例】已知递增数列{an},an≥0,a1=0.对于任意的正整数n,不等式t2--

3t-3an≤0恒成立,则正数t的最大值为 (　　)

A.1　 B.2 C.3 D.6

【解析】选C.因为数列{an}是递增数列,

又t2--3t-3an=(t-an-3)(t+an)≤0,

t+an>0,所以t≤an+3恒成立,

t≤(an+3)min=a1+3=3,所以tmax=3.

在数列的恒成立问题中,若涉及求参数的最值问题时,如何进行合理地转化?

提示:在涉及求参数的最值问题时,常常与已知数列的单调性有关,因此解决这类问题,需要先判断该数列的单调性.

数列的周期性

【典例】若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2 022的值为 世纪金榜导学号(　　)

A.2 B.-3 C.- D.

【解析】选B.因为a1=2,an+1=,所以a2==-3,同理可得:a3=-,a4=,

a5=2,a6=-3,a7=-,a8=,…,可得an+4=an,则a2 022=a505×4+2=a2=-3.

在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑如何求解?

提示:在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,利用周期性即可求出该数列中的某一项.

数列中的最值

【典例】数列{an}的通项为an=(n∈N*),若a5是{an}中的最大值,则a的取值范围是________. 

世纪金榜导学号

【解析】当n≤4时,an=2n-1单调递增,因此n=4时取最大值,a4=24-1=15.

当n≥5时,an=-n2+(a-1)n

=-+.

因为a5是{an}中的最大值,

所以

解得9≤a≤12.所以a的取值范围是[9,12].

答案:[9,12]

当数列涉及最大项或最小项问题时,除了用不等式组求解,还可以考虑什么方法?

提示:解决数列的最值问题,除了用不等式组求解,还可以将数列看作某个函数,利用求函数的最值的方法求数列的最值.

1.已知数列{an}满足an=(n∈N*),则数列{an}的最小项是第______项. 

【解析】因为an=,所以数列{an}的最小项必为an<0,即<0,3n-16<0,从而n<.又n∈N*,所以当n=5时,an的值最小.

答案:5

2.已知数列{an}中,an=n2+λn,且{an}为递增数列,求实数λ的取值范围.

【解析】因为an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+λ+1,所以由{an}为递增数列可得2n+λ+1>0,即λ>-2n-1对一切n∈N*恒成立.因为n=1时,-2n-1取得最大值-3,所以λ>-3,即λ∈(-3,+∞).

【一题多解】函数f(n)=n2+λn的图象的对称轴是n=-,如图,只需要-<,则λ>-3,即λ∈(-3,+∞).

1.(2020·石家庄模拟)已知在正项等比数列中,a2 020=4a2 018,a2+a4=20,则a2 020的个位数字是              (　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

【解析】选C.设公比为q(q>0),

依题意得

解得a1=q=2,故a2 020=2×22 019=22 020,注意到21个位数字是2,22个位数字是4,23个位数字是8,24的个位数字是6,25的个位数字是2,26的个位数字是4,…,故2n的个位数字的周期为4,而22 020=2505×4,故其个位数字为6.

2.数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}中的最大项是 (　　)

A.3  B.19  C.  D.

【解析】选C.令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3时,等号成立.因为an=,所以≤,由于n∈N*,故当n=9或n=10时,an=最大.

关闭Word文档返回原板块