2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析2.6幂函数与二次函数 学案
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核心考点·精准研析
考点一 幂函数的图象与性质
1.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)上为增函数,则m的值为
( )
A.1或3 B.1 C.3 D.2
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是 ( )
A.d>c>b>a B.a>b>c>d
C.d>c>a>b D.a>b>d>c
3.(2019·全国卷Ⅱ)若a>b,则 ( )
A.ln(a-b)>0 B.3a<3b
C.a3-b3>0 D.|a|>|b|
4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 世纪金榜导学号( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
【解析】1.选B.由题意知解得m=1.
2.选B.由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d.
3.选C.当a=3,b=2时,选项A错.由于a>b,而y=3x是增函数,所以3a>3b,故B错.当a=3,b=-5时,选项D错.因为y=x3是增函数,故a3>b3,故C正确.
4.选A.因为0<<<1,指数函数y=在R上单调递减,故<.
又由于幂函数y=在R上单调递增,故>,所以<<,即b<c<a.
1.幂函数图象的特点
掌握幂函数图象只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
2.比较幂值大小的方法
在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
【秒杀绝招】
题3可以用特殊值法求解,令a=0,b=-1,则可排除选项A,B,D.
考点二 二次函数的图象与解析式
【典例】1.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则 ( )
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
2.已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________.
3.已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________.
【解题导思】
序号 | 联想解题 |
1 | 由f(x)=x2+x+a,想到该函数的对称轴为x=- |
2 | 由f(1+x)=f(1-x),想到该函数的对称轴为x=1 |
3 | 由二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0),想到f(x)=ax(x+2)(a≠0) |
【解析】1.选C.因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示,
由f(m)<0,得-1<m<0,
所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.
2.由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1-x),
所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以=1,所以b=2,所以f(x)=x2-2x+3.
答案:f(x)=x2-2x+3
3.设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0),
所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,
得a=1,所以f(x)=x2+2x.
答案:x2+2x
1.用待定系数法求二次函数的解析式
关键是灵活选取二次函数解析式形式,选法如下:
2.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
(3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
1.对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是 ( )
【解析】选A.若0<a<1,则y=logax在(0,+∞)上单调递减,y=(a-1)x2-x开口向下,其图象的对称轴在y轴左侧,排除C,D.若a>1,则y=logax在(0,+∞)上是增函数,y=(a-1)x2-x图象开口向上,且对称轴在y轴右侧,因此B项不正确,只有选项A正确.
2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.
【解析】设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0),又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.
答案:x2+2x+1
考点三 二次函数的性质及其应用
命题 精解 读 | 考什么:(1)幂函数的图象与性质,二次函数的图象与性质,求值或解不等式,求参数值等问题. (2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养. 怎么考:幂函数、二次函数的单调性,函数的周期性以及对称性等知识单独或交汇考查,也可能以分段函数的形式呈现. 新趋势:幂函数、二次函数与其他基本初等函数交汇,图象交点个数、方程、不等式交汇考查. |
学霸 好方 法 | 一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”. (2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”. |
二次函数的单调性问题
【典例】已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则
f(-2),f(4),f(5)的大小关系为 ( )
A.f(5)>f(-2)>f(4)
B.f(4)>f(5)>f(-2)
C.f(4)>f(-2)>f(5)
D.f(-2)>f(4)>f(5)
【解析】选B.因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关于直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图象开口向下,所以函数f(x)在[4,+∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),
即f(4)>f(5)>f(-2).
如何确定二次函数的单调性?
提示:关键看二次函数图象的开口方向与对称轴.
二次函数中的恒成立问题
【典例】1.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,2] B.[-2,2]
C.(-2,2] D.(-∞,-2)
2.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则m的取值范围为________. 世纪金榜导学号
【解析】1.选C.当a-2=0即a=2时,不等式为-4<0,恒成立.当a-2≠0时,解得-2<a<2,所以a的取值范围是-2<a≤2.
2.只需要在x∈(0,1]时,(x2-4x)min≥m即可.因为函数f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,所以当x=1时,(x2-4x)min=1-4=-3,所以m≤-3.
答案:(-∞,-3]
1.由不等式恒成立求参数取值范围的思路是什么?
提示:一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.
2.两种思路目标是什么?
提示:目标都是将问题归结为求函数的最值.
二次函数的最值问题
【典例】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m 世纪金榜导学号( )
A.与a有关且与b有关 B.与a有关但与b无关
C.与a无关且与b无关 D.与a无关但与b有关
【解析】选B.f(x)=x2+ax+b=+b-,对称轴为x=-,下面分情况讨论:
(1)若->1,即a<-2时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f(1)=a+b+1,
此时M-m=b-(a+b+1)=-a-1.
(2)若<-≤1,即-2≤a<-1时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f=b-,
此时M-m=b-=.
(3)若0<-≤,即-1≤a<0时,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f=b-,
此时M-m=a+b+1-=1+a+.
(4)若-≤0,即a≥0时,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f(0)=b,
此时M-m=a+b+1-b=1+a.
综上,M-m与a有关,而与b无关.
函数f(x)=ax2+bx+c在区间[m,n]上的最大值、最小值可能在何处取得?
提示:由二次函数的图象和性质可知:其最大值、最小值可能为f(m),f(n),
f.
1.设函数f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则g(1)+g(2)+…+g(20)=
( )
A.56 B.112 C.0 D.38
【解析】选B.由二次函数图象的性质得,当3≤x≤20时,f(x)+|f(x)|=0,所以g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.
2.已知函数y=ax2+bx-1在(-∞,0]上是单调函数,则y=2ax+b的图象不可能是
( )
【解析】选B.①当a=0,b≠0时,y=2ax+b的图象可能是A;②当a>0时,-≥0⇒b≤0,y=2ax+b的图象可能是C;③当a<0时,-≥0⇒b≥0,y=2ax+b的图象可能是D.
3.(2019·南昌模拟)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a=________.
【解析】因为函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.
因为f(0)=-a,f(2)=4-3a,所以或解得a=1.
答案:1
1.(2020·合肥模拟)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,0] B.
C.(-∞,0)∪ D.
【解析】选D.由题意,f(x)<-m+4对于x∈[1,3]恒成立,即m(x2-x+1)<5对于x∈[1,3]恒成立.
因为当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],
所以不等式f(x)<-m+4等价于m<.
因为当x=3时,取最小值,
所以若要不等式m<对于x∈[1,3]恒成立,则必须满足m<,因此,实数m的取值范围为.
2.(2020·北京模拟)已知集合{a,b,c}={2,3,4},且下列三个关系:a≠3,b=3,c≠4有且只有一个正确,则函数f(x)=的值域是________.
【解析】由{a,b,c}={2,3,4}得,a,b,c的取值有以下情况:
当a=2时,b=3,c=4时,不满足题意.
当a=2时,b=4,c=3时,不满足题意;
当a=3时,b=2,c=4时,不满足题意;
当a=3时,b=4,c=2时,满足题意;
当a=4时,b=2,c=3时,不满足题意;
当a=4时,b=3,c=2时,不满足题意;
综上得,a=3,b=4,c=2,
则函数f(x)==
当x>4时,f(x)=2x>24=16,
当x≤4时,f(x)=(x-2)2+3≥3,
综上f(x)≥3,即函数的值域为[3,+∞).
答案:[3,+∞)
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