2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系

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第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系

知识体系

必备知识

1.平面的基本性质

(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

2.确定平面的三个推论

(1)推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.

(2)推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.

(3)推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

3.空间两条直线的位置关系

(1)位置关系分类.

位置关系

(2)异面直线的判定定理.

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

(3)平行公理(公理4)和等角定理.

①平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行;

②等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

(4)异面直线所成的角.

①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角);

②范围:.

4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系

1.易错点:对异面直线的概念理解有误

异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.

2.注意点:

(1)忽视“直线在平面内”

判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在面内”.

(2)忽视“异面直线所成的角的范围”

两条异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角,也可能等于其补角.

基础小题

1.(教材改编)下列命题正确的个数为 (　　)

①梯形可以确定一个平面;

②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;

④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【解析】选C.②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交,①③正确.

2.(教材改编)如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为              (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

【解析】选C.连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,

故∠D1B1C为所求,又B1D1=B1C=D1C,

所以∠D1B1C=60°.

3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b(　　)

A.一定是异面直线  B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线

【解析】选C.由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾.

4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是________. 

①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.

【解析】对于①②不符合公理1,故①②错;对于③,假设b⊄α,则a与b是异面直线,与a∥b矛盾,因此b⊂α,故③正确,对于④,符合公理3,故④正确.

答案:③④

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