2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：7.2 空间几何体的表面积与体积
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第二节 空间几何体的表面积与体积
知识体系
必备知识
1.多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
| 圆柱 | 圆锥 | 圆台 |
侧 面 展 开 图 | |||
侧面积 公式 | S圆柱侧=2πrl | S圆锥侧=πrl | S圆台侧= π(r1+r2)l |
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称 几何体 | 表面积 | 体积 |
柱体 (棱柱和圆柱) | S表面积=S侧+2S底 | V=Sh |
锥体 (棱锥和圆锥) | S表面积=S侧+S底 | V=Sh |
台体 (棱台和圆台) | S表面积=S侧+ S上+S下 | V=(S上+S下 +)h |
球 | S=4πR2 | V=πR3 |
4.长方体的外接球
(1)球心:体对角线的交点.
(2)半径:r=(a,b,c为长方体的长、宽、高).
5.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球
(1)外接球:球心是正方体中心;半径r=a(a为正方体的棱长).
(2)内切球:球心是正方体中心;半径r=(a为正方体的棱长).
(3)与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径r=a(a为正方体的棱长).
6.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1,棱长为a的正四面体,其内切球半径R内=a,外接球半径R外=a.
1.易错点:
(1)易混“侧面积”与“表面积”的概念
表面积是几何体的能够看到的表面的面积,侧面积是几何体的表面积除去底面积的部分.
(2)组合体的表面积的计算
求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积的处理易出错.
2.注意点:易混“底面是梯形的四棱柱”与“四棱台”
底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义,以防出错.
基础小题
1.给出下列说法:
①锥体的体积等于底面面积与高之积.
②球的体积之比等于半径比的平方.
③台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.
④已知球O的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则R=a.
其中正确的说法有________(只填序号)
【解析】①锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一,故不正确.
②球的体积之比等于半径比的立方,故不正确.
③台体可以由锥体截去一个小锥体得到,故正确.
④球的内接正方体的体对角线长等于球的直径,从而2R=a,所以R=a,故正确.
答案:③④
2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.
【解析】由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边为2,高为的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h=3,所以该几何体的体积
V=S·h=×3=3.
答案:3
3.一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm,绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________.
【解析】旋转一周所得几何体为以 cm为半径的两个同底面的圆锥,其表面积为S=π××6+π××8=π (cm2).
答案:π cm2
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