2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：7.5　直线、平面垂直的判定及其性质

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第五节　直线、平面垂直的判定及其性质

知识体系

必备知识

1.直线与直线垂直

(1)定义:若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直.

(2)若一条直线垂直于一个平面,则它就和平面内的任意一条直线垂直.

2.直线与平面垂直

(1)定义:直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.

(2)判定定理与性质定理:

3.直线和平面所成的角

(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角.

(2)范围:.

4.平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念:

①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;

②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定义:

两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:

5.常用结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.

(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.

(3)三垂线定理

在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

(4)三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.

1.易错点:

(1)线面垂直的证明中的易错点

易忽视面内两条线为相交线这一条件.

(2)面面垂直的判定中的易错点

直线在面内且垂直于另一平面易忽视.

2.注意点:面面垂直的性质定理中的易错点

在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.

基础小题

1.设α、β、γ为不同的平面,m、n、l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件为              (　　)

A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ

C.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D.n⊥α,n⊥β,m⊥α

【解析】选D.A中,缺少条件m⊂α,不满足面面垂直的性质定理,不正确.在选项B,C中,平面α与β可能平行或相交,推不出m⊥β.在D中,n⊥α,n⊥β,则α∥β,根据m⊥α,得m⊥β,D正确.

2.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的              (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”,反之可以,所以是必要不充分条件.

3.(2020·桂林模拟)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则              (　　)

A.m∥l  B.m∥n C.n⊥l  D.m⊥n

【解析】选C.对于A,m与l可能平行或异面,故A错;

对于B,D,m与n可能平行、相交或异面,故B、D错;

对于C,因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C正确.

4.(教材改编)如图,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为              (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选D.

⇒BC⊥VB.

所以有4个直角三角形.

5.(教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有__________对. 

【解析】由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC,共7对.

答案:7

6.如果正四棱锥的底面边长为2,侧面积为4,则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为________. 

【解析】如图,O为底面正方形的中心,据题意易得,该正四棱锥的一个侧面三角形PBC的高PE的长为,因此正四棱锥的高PO==1.

因为∠PEO的大小为侧面与底面所成的(锐)二面角的大小,所以侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为45°.

答案:45°

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