2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.9 函数模型及其应用
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第九节 函数模型及其应用
知识体系
必备知识
1.几类常见的函数模型
函数模型 | 函数解析式 |
一次函数模型 | f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) |
反比例函数模型 | f(x)=+b(k,b为常数且k≠0) |
二次函数模型 | f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) |
指数函数模型 | f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) |
对数函数模型 | f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) |
幂函数模型 | f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0) |
2.三种函数模型的性质
函数 性质 | y=ax(a>1) | y=logax(a>1) | y=xn(n>0) |
在(0,+∞) 上的增 减性 | 单调递增 | 单调递增 | 单调递增 |
增长速度 | 越来越快 | 越来越慢 | 相对平稳 |
图象的 变化 | 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 | 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 | 随n值变化而各有不同 |
值的比较 | 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax | ||
3.解函数应用问题的步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型.
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论.
(4)还原:将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下:
注意点:函数模型的三个注意点
(1)构建函数模型时要注意考虑函数的定义域.
(2)对于复杂的函数模型要注意通过换元转化为熟悉的函数模型进行求解.
(3)利用函数模型y=ax+求函数最值时要注意取得最值时等号是否成立.
基础小题
1.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=
1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,
f4(x)=log2(x+1),
有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为________(把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分).
【解析】路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系是:f1(x)=2x-1,
f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数,二次函数,一次函数和对数型函数模型.
当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,所以结论①不正确;
当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,所以结论②不正确;
根据四种函数的变化特点,对数函数的变化是先快后慢,当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体又重合,从而可知当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面,结论③正确;
指数函数变化是先慢后快,当运动的时间足够长,最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲物体,所以结论⑤正确.
结合对数和指数函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,结论④正确.
答案:③④⑤
2.(教材改编)如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为 ( )
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 0.26 | 1.11 | 3.96 | 16.05 | 63.98 |
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.对数函数模型 D.指数函数模型
【解析】选D.由表中数据可知函数值都是大于0,并且近似f(0)=1,函数是单调递增函数,而且函数增加的速度越来越快,符合指数函数的类型,近似于y=4x.
3.某航空公司规定,乘客所携带行李的质量x(kg)与运费y(元)由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的最大质量为________.
【解析】设y=kx+b(k≠0),将点(30,330),(40,630)代入得y=30x-570,令y=0,得x=19,故乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg.
答案:19 kg
4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,到第7年它们发展到________只.
【解析】由已知第一年有100只,得a=100.将a=100,x=7代入y=alog2(x+1),得y=300.
答案:300
5.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:
方案一:每年植树1万平方米;
方案二:每年树林面积比上年增加9%.
你觉得方案________较好.
【解析】方案一:5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).方案二:5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).因为15.386>15,所以方案二较好.
答案:二
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