2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：4.4 数系的扩充与复数的引入
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第四节 数系的扩充与复数的引入
知识体系
必备知识
1.复数的有关概念
内容 | 意义 | 备注 |
复数的 概念 | 设a,b都是实数,形如a+bi的数叫复数,其中实部为a,虚部为b,i叫做虚数单位 | a+bi为实数⇔b=0, a+bi为虚数⇔b≠0, a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0 |
复数 相等 | a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R) |
|
共轭 复数 | a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R) | 复数a(a为实数)的共轭复数是a |
复平面 | 建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴 | 实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 |
复数 的模 | 向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z| | |z|=|a+bi| = |
2.复数的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b)向量.
3.复数代数形式的四则运算
(1)运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
运算名称 | 符号表示 | 语言叙述 |
加减法 | z1±z2=(a+bi)±(c+di) =(a±c)+(b±d)i | 把实部、虚部分别相加减 |
乘 法 | z1·z2=(a+bi)(c+di) =(ac-bd)+(ad+bc)i | 按照多项式乘法进行,并把i2换成-1 |
除 法 | = = =+i (c+di≠0) | 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数,然后分子、分母分别进行乘法运算 |
(2)复数加法的运算律
设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律:
①交换律:z1+z2=z2+z1;
②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
注意点:常用结论
(1)=±2i;=i;=-i.
(2)-b+ai=i(a+bi).
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).
(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
(5)模的运算性质:①|z|2=||2=z·;②|z1·z2|=
|z1||z2|;③=.
基础小题
1.给出下列说法:
①若a∈C,则a2≥0;②已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数;③方程x2+x+1=0没有解;④复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.
其中正确的说法的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.对于①,当a=i时,a2<0,故①错.
对于②,当a=b=0时,复数z为实数,故②错.
对于③,方程x2+x+1=0无实根,但有复数解,故③错.
对于④,根据复数的几何意义知,④正确.
2.(教材改编)已知i是虚数单位,则复数= ( )
A.-2i B.2i C.1-i D.1+i
【解析】选C.==1-i.
3.若复数z-i=1+i,则|z|= ( )
A. B.2 C. D.5
【解析】选C.由题意得,z=2i+1⇒|z|=.
4.若复数z= ,其中i为虚数单位,则= ( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
【解析】选B.z====1+i,
所以=1-i.
5.(教材改编)在复平面内,复数(i是虚数单位)所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.计算====-+i,位于第二象限.
6.(教材改编)已知(1+2i)=4+3i,则z=________.
【解析】===2-i,故z=2+i.
答案:2+i
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