2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：5.4 数列求和
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第四节 数 列 求 和
知识体系
必备知识
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
(1)等差数列的前n项和公式:
Sn==na1+d.
(2)等比数列的前n项和公式:
Sn=
2.几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法.
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减.
(2)裂项相消法.
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n项和.常用的裂项公式有:
①=-;
②=;
③=-.
④等差数列{an}的公差为d,则=.
(3)错位相减法.
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法.
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解.
(5)并项转化求和法.
把数列中的若干项结合在一起,形成一个新的可求和数列,此时,数列中的项可能正、负相间出现或呈现周期性.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如,
Sn=1002-992+982-972+…+22-12
=(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)
=100+99+98+97+…+2+1=5 050.
1.易错点:
直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论.
2.注意点:
(1)在应用错位相减法时,注意观察未合并项的正负号;结论中形如an,an+1的式子应进行合并.
(2)在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少项则后剩多少项.
基础小题
1.给出下列说法:
① 如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.
②当n≥2时,=.
③求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把该式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.
④若数列a1,a2-a1,…,an-an-1是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{an}的通项公式是an=.其中正确的是________.
【解析】①如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn==
,所以①正确;
②当n≥2时,=正确;
在③中如果a=0,a=1就不用错位相减法,故③不正确;
对于④,利用叠加法可得
an=1+3+32+…+3n-1==,故④正确.
答案:①②④
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S5=25,则S7= ( )
A.41 B.48 C.49 D.56
【解析】选C.设Sn=An2+Bn,
由题知,解得A=1,B=0,
所以S7=49.
3.(教材改编)数列{an}中,an=,若{an}的前n项和为,则项数n为 ( )
A.2 014 B.2 015 C.2 016 D.2 017
【解析】选B.因为an==-,
所以Sn=a1+a2+…+an=1-=,
而已知Sn=,所以=,
解得n=2 015.
4.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10= ( )
A.15 B.12 C.-12 D.-15
【解析】选A.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.
5.数列{an}中,an=,若前n项和Sn=9,则项数n等于________.
【解析】an==-,得Sn=-1=9⇒n=99.
答案:99
6.(教材改编)Sn=+++…+=________.
【解析】由Sn=+++…+,①
得Sn=++…++,②
①-②得,
Sn=+++…+-
=-,所以Sn=.
答案:
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