2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第二章2.5指数与指数函数

§2.5　指数与指数函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数模型的实际背景．
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象.
4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，若题型为解答题，则题目中等偏难.



1．分数指数幂
(1)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0 图象


定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0 (5)当x>0时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数

概念方法微思考
1.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________．

提示　c>d>1>a>b>0
2．结合指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0，a≠1)的解集是否与a的取值有关．
提示　当a>1时，ax>1的解集为{x|x>0}；当01的解集为{x|x<0}．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a(n∈N*)．(　×　)
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　)
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　)
(4)若am0，且a≠1)，则m 题组二　教材改编
2．化简(x<0，y<0)＝________.
答案　－2x2y
3．若函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f (－1)＝________.
答案　
解析　由题意知＝a2，所以a＝，
所以f (x)＝x，所以f (－1)＝－1＝.
4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
答案　c 解析　∵y＝x是R上的减函数，
∴>>0，即a>b>1，
又c＝<0＝1，∴c 题组三　易错自纠
5．计算：＋＝________.
答案　2
6．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式
①0 答案　③④
解析　在同一坐标系内，作出函数y＝x和y＝x的图象(如图)．

当a>b>0时，a＝b可能成立．
当a 当a＝b＝0时，a＝b显然成立．
当0b.
当b 综上可知，③④不可能成立.

指数幂的运算
1．(2019·四川绵阳诊断)计算2××＝________.
答案　6
解析　原式＝2×××
＝2×××××
＝2××＝6.
2．(2019·沧州七校联考)＝________(a>0，b>0)．
答案　
解析　原式＝ ＝.
3．若＋＝3，则＝________.
答案　
解析　由＋＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
＋＝()3＋()3＝(＋)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
∴＝.
思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
指数函数的图象及应用
例1　(1)(2019·郑州模拟)定义运算ab＝则函数f (x)＝12x的图象是(　　)


答案　A
解析　因为当x<0时，1>2x；
当x≥0时，1≤2x.
则f (x)＝12x＝故选A.
(2)已知函数f (x)＝|2x－1|，af (c)>f (b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
答案　D
解析　作出函数f (x)＝|2x－1|的图象，如图，

∵af (c)>f (b)，结合图象知，
00，
∴0<2a<1.
∴f (a)＝|2a－1|＝1－2a，
∴f (c)<1，∴0 ∴1<2c<2，∴f (c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f (a)>f (c)，
∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
思维升华　(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练1　(1)函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　)


答案　B
解析　函数y＝a|x|(a>1)是偶函数，当x≥0时，y＝ax，又已知a>1，故选B.
(2)若曲线y＝与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是________．
答案　(0,1)
解析　曲线y＝与直线y＝b图象如图所示，由图象可得：如果曲线y＝与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．


指数函数的性质及应用

命题点1　比较指数式的大小
例2　(1)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．b 答案　A
解析　a＝，b＝，c＝，
∵y＝4x在R上单调递增，>，∴>，即a>b，
∵y＝在(0，＋∞)上单调递增，4<5，
∴<，即a (2)已知0 A．>(1－a)b B．(1－a)b>
C．(1＋a)a>(1＋b)b D．(1－a)a>(1－b)b
答案　D
解析　∵y＝(1－a)x是减函数，
∴(1－a)a>(1－a)b，
又y＝xb在(0，＋∞)上是增函数，1－a>1－b，
∴(1－a)b>(1－b)b，
∴(1－a)a>(1－b)b.D对，其余皆错．
命题点2　解简单的指数方程或不等式
例3　(1)已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为______．
答案　
解析　当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立．故a的值为.
(2)若偶函数f (x)满足f (x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f (x－2)>0的解集为________________．
答案　{x|x>4或x<0}
解析　∵f (x)为偶函数，f (x)在[0，＋∞)上递增，
且f (2)＝0，∴|x－2|>2，解得x>4或x<0.
命题点3　指数函数性质的综合应用
例4　(1)函数f (x)＝的单调减区间为________．
答案　(－∞，1]
解析　设u＝－x2＋2x＋1，
∵y＝u在R上为减函数，
∴函数f (x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
∴f (x)的减区间为(－∞，1]．
(2)已知函数f (x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
答案　(－∞，4]
解析　令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
函数f (x)＝4x－2x＋1的值域是________．
答案　[－1，＋∞)
解析　设t＝2x(t>0)，则
y＝t2－2t＝(t－1)2－1(t>0)．
当t＝1时，ymin＝－1，无最大值．
∴函数f (x)＝4x－2x＋1的值域为[－1，＋∞)．
若函数f (x)＝有最大值3，则a＝________.
答案　1
解析　令h(x)＝ax2－4x＋3，f (x)＝h(x)，
由于f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f (x)有最大值3时，a的值为1.
思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练2　(1)(2020·蚌埠质检)已知0 A．aa B．ab C．ba D．bb
答案　C
解析　∵0 ∴＝aa－b>1，即aa>ab，
同理可得，ba>bb，
又∵＝a<1，
∴ba>aa，即ba最大．
(2)若函数f (x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f (1)＝，则f (x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案　B
解析　由f (1)＝，得a2＝，
所以a＝或a＝－(舍去)，即f (x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝x在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以f (x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.
(3)已知函数f (x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．
答案　[－3,0)
解析　当0≤x≤4时，f (x)∈[－8,1]，
当a≤x<0时，f (x)∈，
所以[－8,1]，
即－8≤－<－1，即－3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[－3,0).


1．给出下列结论：
①当a<0时，＝a3；
②＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)；
③函数f (x)＝－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠}；
④若5a＝0.3,0.7b＝0.8，则ab>0.
其中正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
答案　B
解析　>0，a3<0，故①错，
∵0<5a<1,0<0.7b<1，
∴a<0，b>0，∴ab<0.故④错．
2．(2019·北京大兴区期末)下列函数中值域为正实数集的是(　　)
A．y＝－5x B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝3|x|
答案　B
3．已知a＝0.860.75，b＝0.860.85，c＝1.30.86，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
答案　D
解析　∵函数y＝0.86x在R上是减函数，
∴0<0.860.85<0.860.75<1，
又1.30.86>1，∴c>a>b.
4．已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1 A．0 C．1 答案　C
解析　∵当x>0时，11.
∵当x>0时，bx0时，x>1.
∴>1，∴a>b，∴1

5．函数y＝的图象大致是(　　)

答案　C
解析　易知函数f (x)为偶函数，因此排除A，B；
又因为f (x)＝>0，故排除D，因此选C.
6．(2019·安徽省马鞍山第二中学模拟)若函数y＝ax－m＋n－3(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则m＋n＝________.
答案　7
解析　∵函数y＝ax－m＋n－3(a>0且a≠1)的图象恒过定点，
令x－m＝0，可得x＝m，y＝n－2，
可得函数的图象经过定点(m，n－2)．
∴m＝3，n－2＝2，解得m＝3，n＝4，则m＋n＝7.
7．若函数f (x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　若函数f (x)＝是R上的减函数，则解得a∈.
8．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
答案　
解析　方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根⇔函数y＝|ax－1|与y＝2a的图象有两个交点．
①当0 所以0<2a<1，即0 ②当a>1时，如图②，
而y＝2a>1不符合要求．

综上，0 9．已知函数f (x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
答案　－
解析　①当0 由题意可得即解得此时a＋b＝－.
②当a>1时，函数f (x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得即显然无解．
所以a＋b＝－.
10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(－1,2)
解析　原不等式变形为m2－m 因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，
所以x≥－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m 11．求函数f (x)＝的定义域、值域．
解　∵－4x－2x＋1＋3≥0，
即(2x)2＋2·2x－3≤0.
令t＝2x>0，∴t2＋2t－3≤0，
∴(t－1)(t＋3)≤0，∴0 ∴2x≤1.∴x≤0.∴函数f (x)的定义域为(－∞，0]．
令y＝－t2－2t＋3＝－(t＋1)2＋4(0 对称轴t＝－1.∴函数y在(0,1]上单调递减．
∴0≤y<3.
∴函数f (x)的值域为[0，)．
12．已知函数f (x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f (x)的表达式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)因为f (x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，
所以所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f (x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝x与y＝x在(－∞，1]上均为减函数，所以y＝x＋x在(－∞，1]上也是减函数，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.

13．当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，) B.
C.∪(1，) D．(0,1)∪(1，)
答案　C
解析　x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)．
若a>1，y＝ax是增函数，
则有a2<2，可得a<，
故有1 若0 则有a－2<2，可得a>，故有 综上所述，a∈∪(1，)．
14．函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
答案　
解析　令t＝x，则y＝t2－t＋1＝2＋，
∵x∈[－3,2]，∴t∈，∴当t＝时，ymin＝，
当t＝8时，ymax＝57.∴函数的值域为.

15．若函数f (x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f (1－x)＝f (1＋x)，f (x)在区间[m，n]上的最大值记为f (x)max，最小值记为f (x)min，若f (x)max－f (x)min＝3，则n－m的取值范围是______________．
答案　(0,4]
解析　因为f (1－x)＝f (1＋x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1，
所以f (x)＝2|x－1|.
作出函数y＝f (x)的图象如图所示．

当m 16．已知函数f (x)＝－＋4(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f (x)的值域；
(2)若方程f (x)＝0有解，求实数λ的取值范围．
解　(1)f (x)＝－＋4
＝2x－2λ·x＋4(－1≤x≤2)．
设t＝x，得g(t)＝t2－2λt＋4.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4
＝2＋.
所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.
所以f (x)max＝，f (x)min＝，
故函数f (x)的值域为.
(2)方程f (x)＝0有解可转化为
λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2)．
设φ(x)＝2·2x＋，
当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝.
所以函数φ(x)的值域为.
故实数λ的取值范围是.