2021届浙江省高考数学一轮学案：第六章第4节　复　数


第4节　复　数
考试要求　1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

知 识 梳 理
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)

共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)

复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝
＝(c＋di≠0).
[常用结论与易错提醒]
1.(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2.－b＋ai＝i(a＋bi).
3.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).
4.i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N).
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)
(3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)
解析　(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(2019·全国Ⅱ卷)设z＝i(2＋i)，则＝(　　)
A.1＋2i B.－1＋2i
C.1－2i D.－1－2i
解析　∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.故选D.
答案　D
3.(2019·全国Ⅰ卷)设z＝，则|z|＝(　　)
A.2 B.
C. D.1
解析　∵z＝＝＝，
∴|z|＝＝.故选C.
答案　C
4.(选修2－2P112A2改编)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A.4＋8i B.8＋2i
C.2＋4i D.4＋i
解析　∵A(6，5)，B(－2，3)，∴线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.
答案　C
5.(2019·江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.
解析　(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部为0，故a＝2.
答案　2
6.设a∈R，若复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________，||＝________.
解析　复数＝＝，由于复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＋1＝1－a，解得a＝0，则z＝＋i，＝－i，则||＝＝.
答案　0　

考点一　复数的有关概念
【例1】 (1)已知i为虚数单位，则i607的共轭复数为(　　)
A.i B.－i
C.1 D.－1
(2)(2020·北京通州区三模)设复数＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.－1
解析　(1)因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i.所以应选A.
(2)因为＝＝－1＋i，又＝a＋bi(a，b∈R)，
所以a＝－1，b＝1，因此a＋b＝0.
答案　(1)A　(2)A
规律方法　(1)复数的分类、复数相等及复数对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
【训练1】 (1)(2020·杭州质检)设复数z满足z(1－2i)＝2＋i(其中i是虚数单位)，则|z|＝(　　)
A. B.
C. D.1
(2)(2019·温州适应性测试)若复数z满足2z＋＝3＋i，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则z＝________，|z|＝________.
解析　(1)由题意得z＝＝＝＝i，则|z|＝1，故选D.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3＋i，则a＝b＝1，所以z＝1＋i，|z|＝＝.
答案　(1)D　(2)1＋i　
考点二　复数的几何意义
【例2】 (1)在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为(　　)
A.1－i B.1＋i
C.－1＋i D.－1－i
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
解析　(1)因为z2＝－2i，而＝－，故向量对应的复数为－2i－(1－i)＝－1－i，故选D.
(2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的对应点在第二象限，则∴a<－1，故选B.
答案　(1)D　(2)B
规律方法　因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.
【训练2】 (1)(2019·全国Ⅱ卷)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
解析　(1)＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)位于第三象限.
(2)由已知条件，可得z＝x＋yi(x，y∈R).∵|z－i|＝1，
∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
答案　(1)C　(2)C
考点三　复数的运算
【例3】 (1)(2019·北京卷)已知复数z＝2＋i，则z·＝(　　)
A. B.
C.3 D.5
(2)(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
解析　(1)∵z＝2＋i，∴＝2－i，∴z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.
(2)由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.
答案　(1)D　(2)D
规律方法　(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.
(2)记住以下结论，可提高运算速度：
①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).
【训练3】 (1)(2019·绍兴适应性考试)已知i为虚数单位，则＝(　　)
A.－1 B.1
C.－1＋i D.1＋i
(2)＋＝________.
解析　(1)＝＝＝1，故选B.
(2)原式＝＋
＝i6＋＝－1＋i.
答案　(1)B　(2)－1＋i

基础巩固题组
一、选择题
1.(2019·嘉兴测试)已知复数z1＝1＋2i，z2＝2－i(i是虚数单位)，则z1·z2＝(　　)
A.3i B.－4＋3i
C.4＋3i D.4－3i
解析　z1z2＝(1＋2i)(2－i)＝4＋3i，故选C.
答案　C
2.下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A.i(1＋i)2 B.i2(1－i)
C.(1＋i)2 D.i(1＋i)
解析　由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C.
答案　C
3.已知i是虚数单位，若a＋bi＝(2＋i)2(a，b∈R)，则(　　)
A.a＝3，b＝4 B.a＝4，b＝4
C.a＝2，b＝1 D.a＝2，b＝2
解析　由题得a＋bi＝3＋4i，则a＝3，b＝4，故选A.
答案　A
4.(2020·台州期末评估)设复数z满足i·z＝2＋i，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析　由i·z＝2＋i，得z＝＝＝1－2i，∴复数z对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限，故选D.
答案　D
5.已知a∈R，i是虚数单位.若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)
A.1或－1 B.或－
C.－ D.
解析　由已知得(a＋i)(a－i)＝4，∴a2＋3＝4，解得a＝±1.
答案　A
6.(2019·宁波模拟)已知复数z满足z(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，则z的虚部为(　　)
A.－i B.i
C.1 D.－1
解析　由复数的运算得z＝＝＝－i，故z的虚部为－1，故选D.
答案　D
7.(2020·杭州学军中学模拟)i为虚数单位，若复数(1＋mi)·(1＋i)是纯虚数，则实数m＝(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.0或1
解析　因为复数(1＋mi)·(1＋i)＝1－m＋(1＋m)i是纯虚数，所以解得m＝1，故选C.
答案　C
8.若复数z＝＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是(　　)
A.－4 B.－3
C.1 D.2
解析　因为z＝＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，所以a<－3，选A.
答案　A
9.设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A.若z2≥0，则z是实数 B.若z2＜0，则z是虚数
C.若z是虚数，则z2≥0 D.若z是纯虚数，则z2＜0
解析　举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.
答案　C
10.已知z1，z2为虚数，则“z1·z2∈R”是“z1与z2互为共轭复数”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　因为z1，z2为虚数，则z1，z2互为共轭复数等价于z1z2＝|z1|2>0，可得z1z2∈R；但z1z2∈R，可以有z2＝k1，z1，z2不互为共轭复数，故选B.
答案　B
11.设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)
A.1 B.
C. D.2
解析　由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi⇒⇒所以|x＋yi|＝＝，故选B.
答案　B
12.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A.若|z1－z2|＝0，则1＝2
B.若z1＝2，则1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析　A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，成立.B中，z1＝2，则1＝z2成立.C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1·1＝z2·2，C正确.D不一定成立，如z1＝1＋i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.
答案　D
二、填空题
13.(2019·浙江卷)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.
解析　z＝＝＝＝－i，
易得|z|＝＝.
答案　
14.(2020·上海静安区质检)若复数(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝________.
解析　∵＝＝＝，且复数是纯虚数，∴＝0且－≠0，即a＝4.
答案　4
15.(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
解析　由已知(a＋bi)2＝3＋4i.即a2－b2＋2abi＝3＋4i.
从而有解得
则a2＋b2＝5，ab＝2.
答案　5　2
16.(2020·金华十校期末调研)已知复数z的共轭复数＝，则复数z的虚部是________，|z|＝________.
解析　由＝＝＝＋i，得z＝－i，则复数z的虚部是－，|z|＝＝.
答案　－　
能力提升题组
17.(一题多解)设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　法一　|z－i|≤2表示复数z在复平面上的对应的点在以(0，1)为圆心，2为半径的圆内(含边界)，而|z|表示此圆内(含边界)的点到原点的距离，其最大值为1＋2＝3.
法二　因为2≥|z－i|≥|z|－|i|＝|z|－1，即|z|≤3.
答案　C
18.已知复数z＝(cos θ－isin θ)·(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是(　　)
A.θ＝ B.θ＝
C.θ＝ D.θ＝
解析　因为z＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i，所以当θ＝时，z＝－i为纯虚数，当z为纯虚数时，θ＝kπ－(k∈Z).故选C.
答案　C
19.若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝(　　)
A.－3 B.－1
C.1 D.3
解析　依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故选C.
答案　C
20.(2020·七彩阳光联盟三联)复数z满足|z－i|＝|z＋3i|，则|z|(　　)
A.最小值为1，无最大值 　 B.最大值为1，无最小值
C.恒等于1 　 D.无最大值，也无最小值
解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－i|＝|z＋3i|，所以x2＋(y－1)2＝x2＋(y＋3)2，解得y＝－1，所以复数z在复平面内对应的点在直线y＝－1上运动，|z|＝可以理解为直线y＝－1上的点到坐标原点的距离，所以当z＝－i时，距离最短，|z|min＝1，无最大值，故选A.
答案　A
21.(2020·七彩阳光联盟三联)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，若复数z＝eπi，则z的实部为________，z2＝________.
解析　由题可得z＝eπi＝cos π＋isin π＝－＋i，所以该复数的实部为－；z2＝(－1＋i)2＝×(－2i)＝－i.
答案　－　－i
22.已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________；最小值为________.
解析　∵|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知＝＝，＝－.
答案　　－