高考数学一轮复习第五章数列5.4数列求和学案

第四节　数列求和

授课提示：对应学生用书第98页

[基础梳理]

1．等差数列的前n项和公式

Sn＝＝na1＋d．

2．等比数列的前n项和公式

Sn＝

3．数列求和方法

(1)公式法求和：

使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法．

(2)错位相减法：

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．

(3)倒序相加法：

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．

(4)分组求和法：

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．

(5)并项求和法：

一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

1．先看数列通项特点，再想求和方法．

2．常见的拆项公式

(1)若{an}为各项都不为0的等差数列，公差为d(d≠0)，

则＝(－)；

(2)＝(－)；

(3)＝－；

(4)loga(1＋)＝loga(n＋1)－logan(a＞0且a≠1)．

3．一些常见数列的前n项和公式

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.

(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.

(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.

(4)12＋22＋…＋n2＝.

(5)13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2.

[四基自测]

1．(基础点：裂项求和)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)

A．1　　 B．　　　

C.　　 D．

答案：B

2．(易错点：错位相减法求和)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)．

答案：－

3．(易错点：分组转化法求和)(2－1)＋(22－2)＋…＋(210－10)＝________．

答案：211－57

4．(基础点：并项求和)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________．

答案：9

授课提示：对应学生用书第99页

考点一　分组、并项转化法求和

挖掘1　分组转化求和/ 互动探究

[例1]　(1)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)

A．2n＋n2－1　　　　　　 B．2n＋1＋n2－1

C．2n＋1＋n2－2  D．2n＋n－2

[解析]　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)

＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n

＝＋2×－n

＝2(2n－1)＋n2＋n－n

＝2n＋1＋n2－2.

[答案]　C

(2)直线ln：y＝x－与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N＋.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝|AnBn|2.

①求数列{an}的通项公式；

②若bn＝求数列{bn}的前n项和Tn.

[解析]　①由题意知，圆Cn的圆心到直线ln的距离dn＝，圆Cn的半径rn＝，

所以an＋1＝(|AnBn|)2＝r－d＝2an＋n－n＝2an，

又a1＝1，所以an＝2n－1.

②当n为偶数时，

Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)

＝[1＋5＋…＋(2n－3)]＋(2＋23＋…＋2n－1)

＝＋

＝＋(2n－1)．

当n为奇数时，n＋1为偶数，

Tn＋1＝＋(2n＋1－1)

＝＋(2n＋1－1)．

而Tn＋1＝Tn＋bn＋1＝Tn＋2n，

所以Tn＝＋(2n－2)．

所以

Tn＝

[破题技法]　

挖掘2　并项转化法求和/ 互动探究

[例2]　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋

(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是(　　)

A．13  B．76

C．46  D．－76

[解析]　因为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，所以S15＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(49－53)＋57＝(－4)×7＋57＝29，S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S31＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61，所以S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.

[答案]　D

(2)已知数列{an}的通项公式是an＝n2sin，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　an＝n2sin＝

∴a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝－12＋22－32＋42－…－2 0192＋2 0202＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(2 0202－2 0192)＝1＋2＋3＋4＋…＋2 020＝.

[答案]　B

[破题技法]　

[拓展]　并项求和时，分析是“两项之并”“三项之并”或“四项之并”一般常与周期结合起来．

一个数列通项公式为an＝2sinπ，求S10.

解析：T＝4，∴a1＋a2＋a3＋a4＝0，

∴S10＝a9＋a10＝a1＋a2＝2sin＋2sinπ＝2.

考点二　裂项相消法求和

挖掘1　裂项为差/ 互动探究

[例1]　(1)(2020·广州天河一模)数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N＋，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)

A.　　　　　　　　 B．2

C.   D.

[解析]　对任意n∈N＋，都有an＋1＝1＋an＋n，则an＋1－an＝n＋1，则an＝

(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，则＝＝2(－)，所以＋＋…＋＝2×＝2×＝.故选C.

[答案]　C

(2)(2020·安徽安庆二模)已知等比数列{an}满足：S1＝1，S2＝4.

①求{an}的通项公式及前n项和Sn；

②设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解析]　①设等比数列{an}的公比为q，

∵S1＝1，S2＝4，

∴a1＝1，a1(1＋q)＝4，解得q＝3，

∴an＝3n－1.

∴Sn＝＝(3n－1)．

②bn＝＝＝－，

∴数列{bn}的前n项和Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.

[破题技法]　1.裂项相消法就是将数列的通项拆分成两个式子的差，然后通过累加抵消掉中间的许多项的求和方法，此种方法适用于通项可以分裂成两式之差，尤其是分母为等差数列的两项之积的类型的数列求和问题．破解此类题的关键点：

(1)定通项，即根据已知条件求出数列的通项公式．

(2)巧裂项，即根据通项公式的特征进行准确裂项，把数列的每一项，表示为两项之差的形式．

(3)消项求和，即通过累加抵消掉中间的项，达到消项的目的，准确求和．

2．为了准确裂项、消项，一般先试裂、试消．

裂项注意系数“配平”，消项时，前面剩多少项，最后就剩相同的项数．

挖掘2　裂项为和/自主练透

[例2]　已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解析]　(1)由于等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，所以Sn＝na1＋×2＝n2－n＋na1，故S1＝a1，S2＝2＋2a1，S4＝12＋4a1.由于S1，S2，S4成等比数列．故(2＋2a1)2＝a1(12＋4a1)，解得a1＝1，故an＝2n－1.

(2)由(1)可知bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1·＝(－1)n－1(＋)，当n为偶数时，Tn＝(1＋)－(＋)＋(＋)－…＋(＋)－(＋)＝1－＝.当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋(＋)＝＋(＋)＝.

所以Tn＝

[破题技法]　本题每项不能分解成两项之差，结合条件中公式的特点，运用裂项前和裂项后相等进行检验，故将每项分解成两项之和，裂项相消法的实质是将数列中的每项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，可能是和式或差式．

考点三　错位相加减法

挖掘1　错位相减求和/ 互动探究

[例1]　(1)＋＋＋…＋的值为__________．

[解析]　设Sn＝＋＋＋…＋，①

得Sn＝＋＋…＋＋，②

①－②得，

Sn＝＋＋＋…＋－

＝－，

∴Sn＝＝2－.

[答案]　2－

(2)(2020·湖北武汉模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋2＝Sn＋.

①求数列{an}的首项a1和公比q；

②若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解析]　①∵Sn＋2＝Sn＋，

∴S3＝S1＋，S4＝S2＋，

两式相减得：a4＝a2，

∴q2＝，又q＞0，则q＝.

又由S3＝S1＋，

可知：a1＋a2＋a3＝a1＋，

∴a1(1＋＋)＝a1＋，

∴a1＝1.

②由①知an＝()n－1.

∴bn＝，

∴Tn＝1＋＋＋…＋，

Tn＝＋＋…＋＋.

两式相减得Tn＝1＋＋…＋－＝2－－.

∴Tn＝4－.

[破题技法]　1.如果数列{an}是一个由等差数列{bn}及等比数列{cn}对应项之积组成的数列，即an＝bn·cn，则其前n项和Sn的求解常用错位相减法．破解此类题的关键点：

(1)巧分拆，即将数列的通项公式分拆为等差数列与等比数列积的形式，并求出公差和公比．

(2)构差式，即写出Sn的表达式，再乘以公比或除以公比，然后将两式相减．

(3)后求和，根据差式的特征准确进行求和．

2．在Sn两边同乘以公比q时，要保证q≠1，两式相减时，要找q的同次项相减．

挖掘2　错位相加法/互动探究

[例2]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝()n(n∈N＋)，记Tn＝a1＋a2·4＋a3·42＋…＋an·4n－1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，求5Tn－4nan.

[解析]　Tn＝a1＋a2·4＋a3·42＋…＋an·4n－1，

4Tn＝a1·4＋a2·42＋a3·43＋…＋an·4n，

两式相加得，

5Tn＝a1＋4(a1＋a2)＋42(a2＋a3)＋…＋4n－1(an＋an－1)＋4nan，

由a1＝1，an＋an＋1＝()n(n∈N＋)，

则5Tn＝1＋4×＋42×()2＋…＋4n－1×()n－1＋4nan＝n＋4nan，所以5Tn－4nan＝n.

[破题技法]　本题是类比课本推导等比数列求和公式的错位相减法，学生大部分就照搬课本方法，但是做不出来，因为此题稍微做了创新．注意题目中的条件，突破通法通性，运用错位相加法，即可求得结论．教学中应注重揭示问题的本质，无论是错位相减还是错位相加都是错位相消法．