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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第二章2.2函数的单调性与最值
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§2.2 函数的单调性与最值
最新考纲
考情考向分析
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
以基本初等函数为载体，考查函数的单调性与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M
(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示 对∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0⇔f (x)在D上是增函数．减函数类似．
2．写出函数y＝x＋(a>0)的增区间．
提示 (－∞，－]和[，＋∞)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f (x)，有f (－1)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．( × )
题组二 教材改编
2.如图是函数y＝f (x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是( )
A．f (x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数
B．f (x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2
C．f (x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3
D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时－1
3．函数y＝在[2,3]上的最大值是______．
答案 2
4．若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，2]
解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.
题组三 易错自纠
5．函数f (x)＝ 的单调增区间是________；f (x)的值域是________．
答案 [3，＋∞)
6．函数y＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a＋1)
解析 由条件知
解得－1≤a<1.
确定函数的单调性
命题点1 求具体函数的单调区间
例1 (1)(2017·全国Ⅱ)函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案 D
解析 由x2－2x－8>0，得f (x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f (x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．
∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
∴函数f (x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选D.
(2)设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
答案 [0,1)
解析 由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
命题点2 判断或证明函数的单调性
例2 讨论函数f (x)＝(a>0)在(－∞，1)上的单调性．
解 方法一 ∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1
f (x1)－f (x2)＝a－a
＝，由于x1
故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，
所以函数f (x)在(－∞，1)上单调递减．
方法二 f′(x)＝＝－，
∵(x－1)2>0，a>0，∴f′(x)<0，
故a>0时，f (x)在(－∞，1)上是减函数．
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
跟踪训练1 (1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝2－x
C．y＝ D．y＝
答案 A
解析 y＝＝，y＝2－x＝x，
y＝，y＝的图象如图所示．
由图象知，只有y＝在(0，＋∞)上单调递增．
(2)函数f (x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
答案 [1,2]
解析 f (x)＝
画出f (x)的大致图象(如图所示)，
由图知f (x)的单调递减区间是[1,2]．
(3)函数f (x)＝ 的单调增区间为________．
答案
解析 由6x2＋x－1>0得，f (x)的定义域为.
由复合函数单调性知f (x)的增区间即y＝6x2＋x－1的减区间(定义域内)，
∴f (x)的单调增区间为.
函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 (1)(2019·贵阳检测)若函数f (x)＝x2，设a＝log54，b＝，c＝，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是( )
A．f (a)>f (b)>f (c) B．f (b)>f (c)>f (a)
C．f (c)>f (b)>f (a) D．f (c)>f (a)>f (b)
答案 D
解析 因为函数f (x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，而0<＝log53
A．a
解析 ∵定义在R上的函数f (x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数，∴m＝0，∴f (x)＝2|x|＋1，∴当x∈(－∞，0)时，f (x)是减函数，当x∈(0，＋∞)时，f (x)是增函数．∵a＝f (log22)＝f (1)，b＝f (log24)＝f (2)，c＝f (2m)＝f (0)，∴a，b，c的大小关系为c
例4 (1)函数f (x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
答案 3
解析 由于y＝x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x)在[－1,1]上单调递减，故f (x)在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.
(2)函数y＝的最大值为________．
答案
解析 令＝t，则t≥2，
∴x2＝t2－4，∴y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
∴h(t)min＝h(2)＝，∴y≤＝(x＝0时取等号)．
即y最大值为.
命题点3 解函数不等式
例5 (1)已知函数f (x)＝若f (2－x2)>f (x)，则实数x的取值范围是_______．
答案 (－2,1)
解析 根据函数f (x)的图象可知，f (x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2
答案 (－，－2)∪(2，)
解析 因为函数f (x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x2－4)<2得，f (x2－4)
例6 (1)已知f (x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
答案 C
解析 由f (x)是减函数，得
∴≤a＜，∴a的取值范围是.
(2)已知函数f (x)＝若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案 (1,2]
解析 由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a (x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1
答案 (1,2)
解析 设u＝2－ax，
∵a>0且a≠1，
∴函数u在[0,1]上是减函数．
由题意可知函数y＝logau在[0,1]上是增函数，
∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，
∴得a<2.
综上得1
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练2 (1)已知函数f (x)为R上的减函数，则满足f
解析 因为f (x)在R上为减函数，且f1，即0<|x|<1，所以0
答案 2
解析 当x≥1时，函数f (x)＝为减函数，所以f (x)在x＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x<1时，易知函数f (x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f (0)＝2.
故函数f (x)的最大值为2.
(3)已知函数y＝在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
答案 [4,5)
解析 设u＝6－ax＋x2，
∵y＝为减函数，
∴函数u在[1,2]上是减函数，
∵u＝6－ax＋x2，对称轴为x＝，
∴≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．
∴解得4≤a<5，
∴实数a的取值范围是[4,5).
1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
答案 D
解析 函数y＝，y＝ln(x＋1)在(－1,1)上都是增函数，函数y＝cos x在(－1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y＝2－x＝x在(－1,1)上是减函数，故选D.
2．函数f (x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
答案 C
解析 函数f (x)的定义域为{x|x≠1}．f (x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f (x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．
3．(2019·沧州七校联考)函数f (x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
答案 A
解析 由已知易得即x>3，
f (x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，x>3，
令t＝(x＋1)(x－3)，则t在[3，＋∞)上单调递增，
又0<0.5<1，∴f (x)在(3，＋∞)上单调递减．
4．若f (x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
答案 D
解析 因为f (x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝在[1,2]上是减函数，所以a>0，所以0
A．[－2,0] B．[－2,1]
C．[－2，－1] D．[－2，＋∞)
答案 C
解析 由于f (x)＝x|x＋2|＝
当x≥－2时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
显然，f (x)在[－2，－1]上单调递减；
当x<－2时，y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，
显然，f (x)在(－∞，－2)上单调递增．
综上可知，f (x)的单调递减区间是[－2，－1]．
6．已知定义在R上的奇函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，若f (x2－2x＋a)
C．(－3，＋∞) D.
答案 D
解析 依题意得f (x)在R上是减函数，所以f (x2－2x＋a)x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈
[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－2＋(－1≤x≤2)，当x＝时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g＝，因此a>，故选D.
7．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
答案 (－∞，－1]和[0,1] (－1,0)和(1，＋∞)
解析 由于y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
8．设函数f (x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 f (x)＝＝a－，
其对称中心为(－2a，a)．
所以所以所以a≥1.
9．如果函数f (x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是________．
答案
解析 对任意x1≠x2，都有>0，
所以y＝f (x)在R上是增函数．
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
10．(2019·重庆调研)已知函数f (x)＝2x＋log3，若不等式f >3成立，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 由>0，得－2
又f (1)＝3，所以不等式f >3成立等价于不等式f >f (1)成立，所以
解得
证明 方法一 设0
∴x1－x2<0，x1＋x2＋>0.
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)
方法二 f′(x)＝2x＋.
当x>0时，f′(x)>0，故f (x)在(0，＋∞)上为增函数．
12．已知函数f (x)对于任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且 x>0时，f (x)<0.
(1)求证：f (x)在R上是奇函数；
(2)求证：f (x)在R上是减函数；
(3)若f (1)＝－，求f (x)在区间[－3,3] 上的最大值和最小值．
(1)证明 ∵函数f (x)对于任意x，y∈R总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，
令x＝y＝0得f (0)＝0，
令y＝－x得f (－x)＝－f (x)，
∴f (x)在R上是奇函数．
(2)证明 在R上任取x1>x2，
则x1－x2>0，f (x1)－f (x2)＝f (x1)＋f (－x2)＝f (x1－x2)，
∵x>0时，f (x)<0，∴f (x1－x2)<0，
∴f (x1)
∴f (x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f (x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)和f (3)，
而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2，
∴f (x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
13．(2019·衡水中学调研)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1，＋∞)
解析 由题意可得，存在正数x使a>x－x成立．
令f (x)＝x－x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f (x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．
14．设函数f (x)＝若函数y＝f (x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．
答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)
解析 作函数f (x)的图象如图所示，
由图象可知f (x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
15．已知函数f (x)＝2 021x－2 021－x＋1，则不等式f (2x－1)＋f (2x)>2的解集为____________．
答案
解析 由题意知，f (－x)＋f (x)＝2，
∴f (2x－1)＋f (2x)>2可化为f (2x－1)>f (－2x)，
又由题意知函数f (x)在R上单调递增，
∴2x－1>－2x，∴x>，
∴原不等式的解集为.
16．已知函数f (x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f (x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f (x)>0，试确定a的取值范围．
解 (1)由x＋－2>0，得>0.
①当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；
②当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
③当01＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．
∴f (x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数，
∴f (x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg .
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f (x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2，x∈[2，＋∞)．
设h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)，
则h(x)＝3x－x2＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.∴a>2.
即a的取值范围是(2，＋∞)．
最新考纲
考情考向分析
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
以基本初等函数为载体，考查函数的单调性与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M
(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示 对∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0⇔f (x)在D上是增函数．减函数类似．
2．写出函数y＝x＋(a>0)的增区间．
提示 (－∞，－]和[，＋∞)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f (x)，有f (－1)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．( × )
题组二 教材改编
2.如图是函数y＝f (x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是( )
A．f (x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数
B．f (x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2
C．f (x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3
D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时－1
3．函数y＝在[2,3]上的最大值是______．
答案 2
4．若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，2]
解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.
题组三 易错自纠
5．函数f (x)＝ 的单调增区间是________；f (x)的值域是________．
答案 [3，＋∞)
6．函数y＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a＋1)
解析 由条件知
解得－1≤a<1.
确定函数的单调性
命题点1 求具体函数的单调区间
例1 (1)(2017·全国Ⅱ)函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案 D
解析 由x2－2x－8>0，得f (x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f (x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．
∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
∴函数f (x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选D.
(2)设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
答案 [0,1)
解析 由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
命题点2 判断或证明函数的单调性
例2 讨论函数f (x)＝(a>0)在(－∞，1)上的单调性．
解 方法一 ∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1
f (x1)－f (x2)＝a－a
＝，由于x1
故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，
所以函数f (x)在(－∞，1)上单调递减．
方法二 f′(x)＝＝－，
∵(x－1)2>0，a>0，∴f′(x)<0，
故a>0时，f (x)在(－∞，1)上是减函数．
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
跟踪训练1 (1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝2－x
C．y＝ D．y＝
答案 A
解析 y＝＝，y＝2－x＝x，
y＝，y＝的图象如图所示．
由图象知，只有y＝在(0，＋∞)上单调递增．
(2)函数f (x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
答案 [1,2]
解析 f (x)＝
画出f (x)的大致图象(如图所示)，
由图知f (x)的单调递减区间是[1,2]．
(3)函数f (x)＝ 的单调增区间为________．
答案
解析 由6x2＋x－1>0得，f (x)的定义域为.
由复合函数单调性知f (x)的增区间即y＝6x2＋x－1的减区间(定义域内)，
∴f (x)的单调增区间为.
函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 (1)(2019·贵阳检测)若函数f (x)＝x2，设a＝log54，b＝，c＝，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是( )
A．f (a)>f (b)>f (c) B．f (b)>f (c)>f (a)
C．f (c)>f (b)>f (a) D．f (c)>f (a)>f (b)
答案 D
解析 因为函数f (x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，而0<＝log53
A．a
解析 ∵定义在R上的函数f (x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数，∴m＝0，∴f (x)＝2|x|＋1，∴当x∈(－∞，0)时，f (x)是减函数，当x∈(0，＋∞)时，f (x)是增函数．∵a＝f (log22)＝f (1)，b＝f (log24)＝f (2)，c＝f (2m)＝f (0)，∴a，b，c的大小关系为c
例4 (1)函数f (x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
答案 3
解析 由于y＝x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x)在[－1,1]上单调递减，故f (x)在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.
(2)函数y＝的最大值为________．
答案
解析 令＝t，则t≥2，
∴x2＝t2－4，∴y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
∴h(t)min＝h(2)＝，∴y≤＝(x＝0时取等号)．
即y最大值为.
命题点3 解函数不等式
例5 (1)已知函数f (x)＝若f (2－x2)>f (x)，则实数x的取值范围是_______．
答案 (－2,1)
解析 根据函数f (x)的图象可知，f (x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2
答案 (－，－2)∪(2，)
解析 因为函数f (x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x2－4)<2得，f (x2－4)
例6 (1)已知f (x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
答案 C
解析 由f (x)是减函数，得
∴≤a＜，∴a的取值范围是.
(2)已知函数f (x)＝若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案 (1,2]
解析 由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a (x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1
答案 (1,2)
解析 设u＝2－ax，
∵a>0且a≠1，
∴函数u在[0,1]上是减函数．
由题意可知函数y＝logau在[0,1]上是增函数，
∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，
∴得a<2.
综上得1
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练2 (1)已知函数f (x)为R上的减函数，则满足f
解析 因为f (x)在R上为减函数，且f
答案 2
解析 当x≥1时，函数f (x)＝为减函数，所以f (x)在x＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x<1时，易知函数f (x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f (0)＝2.
故函数f (x)的最大值为2.
(3)已知函数y＝在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
答案 [4,5)
解析 设u＝6－ax＋x2，
∵y＝为减函数，
∴函数u在[1,2]上是减函数，
∵u＝6－ax＋x2，对称轴为x＝，
∴≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．
∴解得4≤a<5，
∴实数a的取值范围是[4,5).
1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
答案 D
解析 函数y＝，y＝ln(x＋1)在(－1,1)上都是增函数，函数y＝cos x在(－1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y＝2－x＝x在(－1,1)上是减函数，故选D.
2．函数f (x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
答案 C
解析 函数f (x)的定义域为{x|x≠1}．f (x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f (x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．
3．(2019·沧州七校联考)函数f (x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
答案 A
解析 由已知易得即x>3，
f (x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，x>3，
令t＝(x＋1)(x－3)，则t在[3，＋∞)上单调递增，
又0<0.5<1，∴f (x)在(3，＋∞)上单调递减．
4．若f (x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
答案 D
解析 因为f (x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝在[1,2]上是减函数，所以a>0，所以0
A．[－2,0] B．[－2,1]
C．[－2，－1] D．[－2，＋∞)
答案 C
解析 由于f (x)＝x|x＋2|＝
当x≥－2时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
显然，f (x)在[－2，－1]上单调递减；
当x<－2时，y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，
显然，f (x)在(－∞，－2)上单调递增．
综上可知，f (x)的单调递减区间是[－2，－1]．
6．已知定义在R上的奇函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，若f (x2－2x＋a)
C．(－3，＋∞) D.
答案 D
解析 依题意得f (x)在R上是减函数，所以f (x2－2x＋a)
[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－2＋(－1≤x≤2)，当x＝时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g＝，因此a>，故选D.
7．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
答案 (－∞，－1]和[0,1] (－1,0)和(1，＋∞)
解析 由于y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
8．设函数f (x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 f (x)＝＝a－，
其对称中心为(－2a，a)．
所以所以所以a≥1.
9．如果函数f (x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是________．
答案
解析 对任意x1≠x2，都有>0，
所以y＝f (x)在R上是增函数．
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
10．(2019·重庆调研)已知函数f (x)＝2x＋log3，若不等式f >3成立，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 由>0，得－2
又f (1)＝3，所以不等式f >3成立等价于不等式f >f (1)成立，所以
解得
证明 方法一 设0
∴x1－x2<0，x1＋x2＋>0.
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)
方法二 f′(x)＝2x＋.
当x>0时，f′(x)>0，故f (x)在(0，＋∞)上为增函数．
12．已知函数f (x)对于任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且 x>0时，f (x)<0.
(1)求证：f (x)在R上是奇函数；
(2)求证：f (x)在R上是减函数；
(3)若f (1)＝－，求f (x)在区间[－3,3] 上的最大值和最小值．
(1)证明 ∵函数f (x)对于任意x，y∈R总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，
令x＝y＝0得f (0)＝0，
令y＝－x得f (－x)＝－f (x)，
∴f (x)在R上是奇函数．
(2)证明 在R上任取x1>x2，
则x1－x2>0，f (x1)－f (x2)＝f (x1)＋f (－x2)＝f (x1－x2)，
∵x>0时，f (x)<0，∴f (x1－x2)<0，
∴f (x1)
∴f (x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f (x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)和f (3)，
而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2，
∴f (x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
13．(2019·衡水中学调研)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1，＋∞)
解析 由题意可得，存在正数x使a>x－x成立．
令f (x)＝x－x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f (x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．
14．设函数f (x)＝若函数y＝f (x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．
答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)
解析 作函数f (x)的图象如图所示，
由图象可知f (x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
15．已知函数f (x)＝2 021x－2 021－x＋1，则不等式f (2x－1)＋f (2x)>2的解集为____________．
答案
解析 由题意知，f (－x)＋f (x)＝2，
∴f (2x－1)＋f (2x)>2可化为f (2x－1)>f (－2x)，
又由题意知函数f (x)在R上单调递增，
∴2x－1>－2x，∴x>，
∴原不等式的解集为.
16．已知函数f (x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f (x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f (x)>0，试确定a的取值范围．
解 (1)由x＋－2>0，得>0.
①当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；
②当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
③当0
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．
∴f (x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数，
∴f (x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg .
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f (x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2，x∈[2，＋∞)．
设h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)，
则h(x)＝3x－x2＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.∴a>2.
即a的取值范围是(2，＋∞)．
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