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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第一章1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲
考情考向分析
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义．
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型多为选择题，低档难度.
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
概念方法微思考
含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？
提示 p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p与綈p：真假相反．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √ )
题组二 教材改编
2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是( )
A．∃x0>0，使得x－x0＋3≤0
B．∃x0>0，使得x－x0＋3>0
C．∀x>0，都有x2－x＋3>0
D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0
答案 B
3．已知p：2是偶数，q：2是素数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
4．下列全称命题中假命题是________．(填序号)
①2x＋1是整数(x∈R)；
②对所有的x∈R，x>3；
③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；
④任何直线都有斜率．
答案 ①②④
题组三 易错自纠
5．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.
6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，
∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
含有逻辑联结词的命题及其真假
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析 命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
2．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A．p或q B．p且q C．q D．綈p
答案 B
解析 取x＝，y＝，可知命题p是假命题；
由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．
其中，正确的是________．(填序号)
答案 ②
解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式．
(2)判断其中命题p，q的真假．
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例1 (1)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2
答案 B
解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.
(2)已知函数f (x)＝，则( )
A．∃x0∈R，f (x0)<0
B．∀x∈(0，＋∞)，f (x)≥0
C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，<0
D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f (x1)>f (x2)
答案 B
解析 幂函数f (x)＝的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立．
命题点2 含一个量词的命题的否定
例2 (1)已知命题p：“∃x0∈R，－x0－1≤0”，则綈p为( )
A．∃x0∈R，－x0－1≥0
B．∃x0∈R，－x0－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
(2)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0
答案 C
解析 已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)]·(x2－x1)<0，故选C.
思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练1 (1)下列命题中的真命题是( )
A．∃x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝
B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0
D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x
答案 B
解析 ∵sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；设f (x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，
∵当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f (x)在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0，
∴∀x∈(0，＋∞)，f (x)>0，即ex>x＋1，故B正确；
当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；
∵当x∈时，sin x
A．∀a≤0，有a＋≥2成立
B．∀a>0，有a＋≥2成立
C．∃a0≤0，有a0＋≥2成立
D．∃a0>0，有a0＋≥2成立
答案 B
解析 特称命题的否定是全称命题，所以“∃a0>0，有a0＋<2成立”的否定是“∀a>0，有a＋≥2成立”，故选B.
根据命题的真假求参数的取值范围
例3 (1)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么实数a的取值范围为________________．
答案 (－∞，0)∪
解析 当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或所以0≤a<4.
当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，所以a≤.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假．
若p真q假，则
(2)已知f (x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[0,3]时，f (x)min＝f (0)＝0，当x∈[1,2]时，
g(x)min＝g(2)＝－m，由f (x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f (x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是___________．
答案
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．
设f (x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a<0，解得a>，
即实数a的取值范围为.
(2)已知命题p：(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
解析 由命题p：(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，
由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2
当p真q假时，m≤－2；
当p假q真时，－1
所以m≤－2或m>－1.
1．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
2．下列命题中，是真命题的全称命题为( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∃x0，＝x0
D．对数函数在定义域上是单调函数
答案 D
3．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x0，使x≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x0＝0时，x＝0，满足x≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
4．下列命题的否定是真命题的是( )
A．有些实数的绝对值是正数
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程x2－9＝0的一个根
答案 B
5．(2019·大庆铁人中学期末)命题p：00，且a≠1)的图象过定点(－1,1)，则( )
A．p∨q为假 B．p∧q为真
C．p为真，q为假 D．p为假，q为真
答案 D
解析 命题p：0
A．∀x∈R，f (x)＝0且g(x)＝0
B．∀x∈R，f (x)＝0或g(x)＝0
C．∃x0∈R，f (x0)＝0且g(x0)＝0
D．∃x0∈R，f (x0)＝0或g(x0)＝0
答案 D
解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f (x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f (x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.
7．已知命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
答案 D
解析 因为命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0
①∃m0∈A，m0∉B；②∃m0∈B，m0∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg}，所以B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选C.
9．(2019·邯郸一中测试)若命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p是________．
答案 ∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．
答案 (－4,0]
解析 “对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4
①“∀x∈(0,2)，3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2)，≤x”；
②若f (x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f (－x)＝－f (x)；
③若f (x)＝x＋，则∃x0∈(0，＋∞)，f (x0)＝1.
其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上)
答案 ①②
解析 对于①，命题“∀x∈(0,2)，3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2)，≤x”，故①为真命题；对于②，若f (x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f (－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f (x)，故②为真命题；对于③，对于函数f (x)＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，x>－1，当且仅当x＝0时，f (x)＝1，故③为假命题．故答案为①②.
12．已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2：∃θ0∈R，sin θ0＋cos θ0＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．
答案 q1，q4
解析 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤1，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题．
13．已知f (x)＝ex－x，g(x)＝ln x＋x＋1，命题p：∀x∈R，f (x)>0，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，g(x0)＝0，则下列说法正确的是( )
A．p是真命题，綈p：∃x0∈R，f (x0)<0
B．p是假命题，綈p：∃x0∈R，f (x0)≤0
C．q是真命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0
D．q是假命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0
答案 C
解析 f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，故当x＝0时，函数f (x)取得极小值，同时也是最小值，f (0)＝e0－0＝1－0＝1>0，∴∀x∈R，f (x)>0成立，即p是真命题．g(x)＝ln x＋x＋1在(0，＋∞)上为增函数，且g(e－2)＝－2＋e－2＋1＝e－2－1<0，g(1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x0∈(0，＋∞)，g(x0)＝0成立，即命题q是真命题．綈p：∃x0∈R，f (x0)≤0，
綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0.综上，只有选项C正确．
14．下列命题中真命题的个数是( )
①∀x∈R，x2－x＋≥0；
②∃x0>0，ln x0＋≤2；
③若命题p∨q是真命题，则綈p是真命题；
④命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∀x0∈R,≤0”．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 对于①，x2－x＋＝2≥0恒成立，所以①正确．对于②，当x＝>0时，ln x<0，<0，所以∃x0>0，ln x0＋≤2成立，所以②正确．对于③，若命题p∨q是真命题，则p，q至少有一个为真命题，所以綈p真假不能判断，所以③错误．对于④，命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,≤0”，所以④错误．故真命题的个数是2.
15．若f (x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f (x0)，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f (x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f (x)值域的子集．函数f (x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.故a的取值范围是.
16．已知命题p：∃x0∈R，－mx0＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．
由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，
设f (x)＝，x≠0，则
f′(x)＝＝，
当x>1时，f′(x)>0，函数f (x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0
所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
最新考纲
考情考向分析
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义．
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型多为选择题，低档难度.
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
概念方法微思考
含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？
提示 p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p与綈p：真假相反．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √ )
题组二 教材改编
2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是( )
A．∃x0>0，使得x－x0＋3≤0
B．∃x0>0，使得x－x0＋3>0
C．∀x>0，都有x2－x＋3>0
D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0
答案 B
3．已知p：2是偶数，q：2是素数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
4．下列全称命题中假命题是________．(填序号)
①2x＋1是整数(x∈R)；
②对所有的x∈R，x>3；
③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；
④任何直线都有斜率．
答案 ①②④
题组三 易错自纠
5．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.
6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，
∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
含有逻辑联结词的命题及其真假
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析 命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
2．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A．p或q B．p且q C．q D．綈p
答案 B
解析 取x＝，y＝，可知命题p是假命题；
由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．
其中，正确的是________．(填序号)
答案 ②
解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式．
(2)判断其中命题p，q的真假．
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例1 (1)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2
答案 B
解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.
(2)已知函数f (x)＝，则( )
A．∃x0∈R，f (x0)<0
B．∀x∈(0，＋∞)，f (x)≥0
C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，<0
D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f (x1)>f (x2)
答案 B
解析 幂函数f (x)＝的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立．
命题点2 含一个量词的命题的否定
例2 (1)已知命题p：“∃x0∈R，－x0－1≤0”，则綈p为( )
A．∃x0∈R，－x0－1≥0
B．∃x0∈R，－x0－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
(2)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0
答案 C
解析 已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)]·(x2－x1)<0，故选C.
思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练1 (1)下列命题中的真命题是( )
A．∃x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝
B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0
D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x
答案 B
解析 ∵sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；设f (x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，
∵当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f (x)在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0，
∴∀x∈(0，＋∞)，f (x)>0，即ex>x＋1，故B正确；
当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；
∵当x∈时，sin x
A．∀a≤0，有a＋≥2成立
B．∀a>0，有a＋≥2成立
C．∃a0≤0，有a0＋≥2成立
D．∃a0>0，有a0＋≥2成立
答案 B
解析 特称命题的否定是全称命题，所以“∃a0>0，有a0＋<2成立”的否定是“∀a>0，有a＋≥2成立”，故选B.
根据命题的真假求参数的取值范围
例3 (1)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么实数a的取值范围为________________．
答案 (－∞，0)∪
解析 当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或所以0≤a<4.
当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，所以a≤.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假．
若p真q假，则
(2)已知f (x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[0,3]时，f (x)min＝f (0)＝0，当x∈[1,2]时，
g(x)min＝g(2)＝－m，由f (x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f (x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是___________．
答案
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．
设f (x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a<0，解得a>，
即实数a的取值范围为.
(2)已知命题p：(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
解析 由命题p：(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，
由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2
当p真q假时，m≤－2；
当p假q真时，－1
所以m≤－2或m>－1.
1．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
2．下列命题中，是真命题的全称命题为( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∃x0，＝x0
D．对数函数在定义域上是单调函数
答案 D
3．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x0，使x≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x0＝0时，x＝0，满足x≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
4．下列命题的否定是真命题的是( )
A．有些实数的绝对值是正数
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程x2－9＝0的一个根
答案 B
5．(2019·大庆铁人中学期末)命题p：0
A．p∨q为假 B．p∧q为真
C．p为真，q为假 D．p为假，q为真
答案 D
解析 命题p：0
A．∀x∈R，f (x)＝0且g(x)＝0
B．∀x∈R，f (x)＝0或g(x)＝0
C．∃x0∈R，f (x0)＝0且g(x0)＝0
D．∃x0∈R，f (x0)＝0或g(x0)＝0
答案 D
解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f (x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f (x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.
7．已知命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
答案 D
解析 因为命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0
①∃m0∈A，m0∉B；②∃m0∈B，m0∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg}，所以B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选C.
9．(2019·邯郸一中测试)若命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p是________．
答案 ∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．
答案 (－4,0]
解析 “对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4
①“∀x∈(0,2)，3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2)，≤x”；
②若f (x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f (－x)＝－f (x)；
③若f (x)＝x＋，则∃x0∈(0，＋∞)，f (x0)＝1.
其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上)
答案 ①②
解析 对于①，命题“∀x∈(0,2)，3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2)，≤x”，故①为真命题；对于②，若f (x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f (－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f (x)，故②为真命题；对于③，对于函数f (x)＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，x>－1，当且仅当x＝0时，f (x)＝1，故③为假命题．故答案为①②.
12．已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2：∃θ0∈R，sin θ0＋cos θ0＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．
答案 q1，q4
解析 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤1，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题．
13．已知f (x)＝ex－x，g(x)＝ln x＋x＋1，命题p：∀x∈R，f (x)>0，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，g(x0)＝0，则下列说法正确的是( )
A．p是真命题，綈p：∃x0∈R，f (x0)<0
B．p是假命题，綈p：∃x0∈R，f (x0)≤0
C．q是真命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0
D．q是假命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0
答案 C
解析 f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，故当x＝0时，函数f (x)取得极小值，同时也是最小值，f (0)＝e0－0＝1－0＝1>0，∴∀x∈R，f (x)>0成立，即p是真命题．g(x)＝ln x＋x＋1在(0，＋∞)上为增函数，且g(e－2)＝－2＋e－2＋1＝e－2－1<0，g(1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x0∈(0，＋∞)，g(x0)＝0成立，即命题q是真命题．綈p：∃x0∈R，f (x0)≤0，
綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0.综上，只有选项C正确．
14．下列命题中真命题的个数是( )
①∀x∈R，x2－x＋≥0；
②∃x0>0，ln x0＋≤2；
③若命题p∨q是真命题，则綈p是真命题；
④命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∀x0∈R,≤0”．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 对于①，x2－x＋＝2≥0恒成立，所以①正确．对于②，当x＝>0时，ln x<0，<0，所以∃x0>0，ln x0＋≤2成立，所以②正确．对于③，若命题p∨q是真命题，则p，q至少有一个为真命题，所以綈p真假不能判断，所以③错误．对于④，命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,≤0”，所以④错误．故真命题的个数是2.
15．若f (x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f (x0)，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f (x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f (x)值域的子集．函数f (x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.故a的取值范围是.
16．已知命题p：∃x0∈R，－mx0＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．
由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，
设f (x)＝，x≠0，则
f′(x)＝＝，
当x>1时，f′(x)>0，函数f (x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0
所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
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