2021届山东高考数学一轮创新教学案：第1章　第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.简单的逻辑联结词

(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．

(2)概念

用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；

对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.

(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

2．全称量词和存在量词

3．全称命题和特称命题

1．概念辨析

(1)命题“3≤3”是假命题．(　　)

(2)命题p与綈p不可能同真，也不可能同假．(　　)

(3)p，q中有一个假，则p∧q为假．(　　)

(4)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．小题热身

(1)命题p：∃x0∈R，x－x0＋1≤0的否定是(　　)

A．∃x0∈R，x－x0＋1>0  B．∀x∈R，x2－x＋1≤0

C．∀x∈R，x2－x＋1>0  D．∃x0∈R，x－x0＋1<0

答案　C

解析　由已知得綈p是“∀x∈R，x2－x＋1>0”．

(2)下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x0∈R，lg x0＝1  B．∃x0∈R，sinx0＝0

C．∀x∈R，x3>0  D．∀x∈R,2x>0

答案　C

解析　因为lg 10＝1，所以A是真命题；

因为sin0＝0，所以B是真命题；

因为(－2)3<0，所以C是假命题；

由指数函数的性质知∀x∈R,2x>0是真命题．

(3)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q  B．(綈p)∧(綈q)

C．(綈p)∧q  D．p∧(綈q)

答案　D

解析　易知p是真命题，q是假命题，所以綈p是假命题，綈q是真命题．进而可判断A，B，C是假命题，D是真命题．

(4)命题“∃x0∈R,1＜f(x0)≤2”的否定是________．

答案　∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2

解析　由特称命题的否定可得，已知命题的否定是∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2.

题型 一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

1．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为“綈p为真”⇔p为假⇒p∧q为假；p∧q为假⇒p假或q假  p为假⇔綈p为真．所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．

2．命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为(　　)

A．p∧q  B．p∨q 

C．p∧(綈q)  D．綈q

答案　B

解析　由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，

所以命题p是假命题．

由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，

所以函数y＝的值域为(0,1)，故命题q为真命题．

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．

    1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤

    2．熟记一组口诀

“或”命题一真即真，“且”命题一假即假，“非”命题真假相反．如举例说明1中p∧q为假⇔p假或q假．

1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是(　　)

A．p∨q  B．p∧q

C．(綈p)∧(綈q)  D．p∨(綈q)

答案　A

解析　因为p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．

2．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题，其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)

答案　②③

解析　∀x∈R，都有sinx∈[－1,1]，所以不存在x0∈R，使sinx0＝，故p是假命题，綈p是真命题；∀x∈R，都有x2＋x＋1＝2＋＞0，故q是真命题，綈q是假命题．所以p∧q是假命题，p∧(綈q)是假命题，(綈p)∨q是真命题，(綈p)∨(綈q)是真命题．即②③正确．

题型 二　全称命题、特称命题　

角度1　全称命题、特称命题的真假判断

1．已知命题p：∀x∈R，x＋≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x>x，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．(綈p)∧q  B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧(綈q)  D．p∧q

答案　A

解析　当x＝－1时，x＋<2，故p是假命题；当x0＝时，2>3，故q是真命题，所以(綈p)∧q是真命题，p∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)，p∧q都是假命题．

角度2　含有一个量词的命题的否定

2．(1)已知定义在R上的函数f(x)周期为T(常数)，则命题“∀x∈R，f(x)＝f(x＋T)”的否定是____________；

(2)命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的否定是____________________．

答案　(1)∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)

(2)角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等

解析　(1)量词“∀”改为“∃”，f(x)＝f(x＋T)改为f(x)≠f(x＋T)，故已知命题的否定是∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)．

(2)①改量词，本题中省略了量词“所有”，应将其改为“有的”；

②否定结论，“距离相等”改为“距离不相等”．

故已知命题的否定是“角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等”．

1.全(特)称命题真假的判断方法

1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)

A．∀n∈N，n2>2n  B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n  D．∃n∈N，n2＝2n

答案　C

解析　命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，故綈p：∀n∈N，n2≤2n.

2．已知直线l：y＝k(x－1)，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，现给出下列四个命题：

p1：∀k∈R，l与C相交；p2：∃k∈R，l与C相切；

p3：∀r>0，l与C相交；p4：∃r>0，l与C相切．

其中真命题为(　　)

A．p1，p3  B．p1，p4 

C．p2，p3  D．p2，p4

答案　A

解析　因为直线l：y＝k(x－1)恒过定点(1,0)，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(1,0)，所以直线l恒过圆心，所以∀k∈R，l与C相交，∀r∈R，l与C相交，所以p1，p3是真命题，p2，p4是假命题．

题型 三　根据命题的真假求参数的取值范围　

1．(2019·黄冈模拟)已知a∈R，命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围是________．

答案　a≤－2或a＝1

解析　若命题p是真命题，则有a≤x2对x∈[1,2]恒成立，所以a≤1，记A＝{a|a≤1}，若命题q是真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.记B＝{a|a≤－2或a≥1}，因为命题p∧q为真命题，所以p，q都是真命题．所以a∈A∩B＝{a|a≤－2或a＝1}．

2．已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝x－m，若∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　当x1∈[0,3]时，f(x1)∈[0，ln 10]，当x2∈[1,2]时，g(x2)∈.因为∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，所以只需0≥－m，解得m≥.

条件探究　

将本例中“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　当x2∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，

由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.

    1.根据复合命题的真假求参数的取值范围的步骤

(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；

(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假；

(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集、并集和补集的运算，求解参数的取值范围．如举例说明1.

2．根据全称命题、特称命题的真假求参数的取值范围

(1)巧用三个转化

①全称命题可转化为恒成立问题，如举例说明1.

②特称命题可转化为存在性问题．

③全(特)称命题假可转化为特(全)称命题真．

(2)准确计算

通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．

若“∀x∈，m≤tanx＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．

答案　0

解析　y＝tanx在上单调递增，所以x∈⇒tanx∈[－1,1]⇒tanx＋1∈[0,2]．若∀x∈，总有m≤tanx＋1成立，则m≤0，故实数m的最大值为0.

　组　基础关

1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则綈p为(　　)

A．∃x0∈R，sinx0≥1  B．∀x∈R，sinx≥1

C．∃x0∈R，sinx0＞1  D．∀x∈R，sinx＞1

答案　C

解析　由已知得綈p为∃x0∈R，sinx0＞1.

2．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)

A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0

C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0

答案　B

解析　綈p为∀x∈R，log2(3x＋1)>0，此命题为真命题，所以命题p是假命题．

3．若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是(　　)

A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)

B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x)

C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)

D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)

答案　C

解析　由已知得∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，所以其否定“∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)”是真命题．

4．(2019·河北石家庄模拟)命题p：若sinx>siny，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　)

A．p或q  B．p且q 

C．q  D．綈p

答案　B

解析　取x＝，y＝，可知命题p是假命题；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．

5．(2019·唐山模拟)已知命题p：∃x0∈N，x＜x；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2,0)，则(　　)

A．p假q真  B．p真q假 

C．p假q假  D．p真q真

答案　A

解析　由x＜x，得x(x0－1)＜0，解得x0＜0或0＜x0＜1，在这个范围内没有自然数，所以命题p为假命题；因为对任意的a∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f(2)＝loga1＝0，所以命题q为真命题．

6．已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数的虚部为－i，则下面为真命题的是(　　)

A．(綈p)∧(綈q)  B．(綈p)∧q

C．p∧(綈q)  D．p∧q

答案　C

解析　由(z－i)(－i)＝5，得z－i＝5i，所以z＝6i，故p是真命题，綈p是假命题；＝＝＝－i.其虚部为－，故q是假命题，綈q是真命题．所以(綈p)∧(綈q)是假命题，(綈p)∧q是假命题，p∧(綈q)是真命题，p∧q是假命题．

7．若命题“∀x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,3)  B．[－1,3]

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)  D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

答案　C

解析　由题意得，原命题的否定“∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4>0.所以a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.

8．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为__________________．

答案　存在正数x0，≤x0＋1

解析　命题p可写为“存在正数x0，≤x0＋1”．

9．已知命题p：∃x0∈Q，x＝2，命题q：函数y＝2cosx是偶函数，则下列命题：

①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨(綈q)．

其中为假命题的序号为________．

答案　②③④

解析　因为p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题，即②③④为假命题．

10．已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实根；命题q：a>0.若“綈(p∨q)”是假命题，“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，－2]∪(0,2)

解析　当命题p为真时，有Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2.

因为“綈(p∨q)”是假命题，所以p∨q是真命题．

又“p∧q”是假命题，所以p，q一个为真命题，一个为假命题．

①当p真q假时，则解得a≤－2；

②当p假q真时，则解得0<a<2.

综上可得，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪(0,2)．

　组　能力关

1．给出以下命题：

①存在x0∈R，sin2＋cos2＝；

②对任意实数x1，x2若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；

③命题“∃x0∈R，＜0”的否定是“∀x∈R，≥0”；

④∀x∈R，sinx＜2x.

其中真命题的个数是(　　)

A．0  B．1 

C．2  D．3

答案　A

解析　因为∀x∈R，sin2＋cos2＝1，所以①是假命题；当x1＝，x2＝π时，＜π，但tan＞tanπ，所以②是假命题；“∃x0∈R，＜0”的否定是“∀x∈R，≥0或x＝1”，故③是假命题．当x＝－时，sin＞2－，故④是假命题．

2．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；命题q：∃x∈R，|x＋1|≤x，则(　　)

A．(綈p)∨q为真命题  B．p∧(綈q)为假命题

C．p∧q为真命题  D．p∨q为真命题

答案　D

解析　由函数y＝2x是R上的增函数，知命题p是真命题．对于命题q，当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|＝x＋1＞x；当x＋1＜0，即x＜－1时，|x＋1|＝－x－1，由－x－1≤x，得x≥－，无解，因此命题q是假命题．所以(綈p)∨q为假命题，A错误；p∧(綈q)为真命题，B错误；p∧q为假命题，C错误；p∨q为真命题，D正确．选D.

3．已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0；q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是   (　　)

A．[2，＋∞)

B．(－∞，－2]

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D．[－2,2]

答案　A

解析　依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题，得即m≥2.

4．(2019·河北五校联考)已知x，y∈R，下列条件能作为“x>2且y>2”的必要不充分条件的个数为(　　)

①∀t∈[0,4)，均有x＋y≥t恒成立；

②∀t∈[0,4)，均有x－y≤t恒成立；

③∃t∈[4，＋∞)，有x＋y≥t成立；

④∀t∈[4，＋∞)，均有x－y≤t恒成立．

A．0  B．1 

C．2  D．3

答案　C

解析　若x＞2且y＞2，则x＋y＞4，显然①③成立．②转化为x－y≤0，显然不恒成立，如当x＝4，y＝3时，不满足．④转化为x－y≤4，显然不恒成立，如当x＝10，y＝3时不满足，所以①③是“x＞2且y＞2”的必要条件．而由①③不能推出x＞2且y＞2，所以①③是“x＞2且y＞2”的必要不充分条件．

5．给出下列四个命题：

①∃x0<0，e－x0<1；

②∀x>2，x2>2x；

③∀α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβ；

④若q是綈p成立的必要不充分条件，则綈q是p成立的充分不必要条件．

其中真命题的序号是________．

答案　④

解析　当x<0时，－x>0，e－x>1，所以①是假命题；

当x＝5时，52<25，所以②是假命题；

当α＝π，β＝时，sin(α－β)＝sin＝，

sinα－sinβ＝sinπ－sin＝－，

sin(α－β)≠sinα－sinβ，所以③是假命题；④是真命题．

6．(2019·洛阳模拟)已知p：∀x∈，2x<m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　由2x<m(x2＋1)，可得m>＝，

y＝x＋在上为减函数．

∴当x＝时，max＝，

故当p为真时，m>.

函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1＝(2x＋1)2＋m－2，

令f(x)＝0，得2x＝－1，

若f(x)存在零点，则－1>0，解得m<1.

故当q为真时，m<1.

若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是.