2021高考数学一轮复习学案：第十章10.3二项式定理

§10.3　二项式定理

1．二项式定理

2.二项式系数的性质

(1)C＝1，C＝1，C＝C＋C.

C＝C(0≤m≤n)．

(2)二项式系数先增后减中间项最大．

当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为，当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.

(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

概念方法微思考

1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？

提示　(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．

2．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？

提示　不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式的第r项．(　×　)

(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)

(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)

(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　√　)

题组二　教材改编

2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)

A．80  B．40  C．20  D．10

答案　B

解析　Tr＋1＝C(2x)r＝C2rxr，当r＝2时，x2的系数为C·22＝40.

3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)

A．10  B．20  C．30  D．120

答案　B

解析　二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tr＋1＝C·x6－r·r＝Cx6－2r，当6－2r＝0，即当r＝3时为常数项，T4＝C＝20.

4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)

A．9  B．8  C．7  D．6

答案　B

解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.

题组三　易错自纠

5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)

A．C   B．C

C．C   D．(－1)m－1C

答案　D

解析　(x－y)n二项展开式第m项的通项为

Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，

所以系数为C(－1)m－1.

6．已知n(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)

A．1  B．±1  C．2  D．±2

答案　C

解析　根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，则二项式的展开式通项为Tr＋1＝C()5－r·r＝arC，令＝0，得r＝3，则其常数项为Ca3，根据题意，有Ca3＝80，可得a＝2.

7．在n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．

答案　1

解析　因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.

在5中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.

多项展开式的特定项

命题点1　二项展开式问题

例1　(1)(2020·山东模拟)10的展开式中x4的系数是(　　)

A．－210   B．－120

C．120   D．210

答案　B

解析　由二项展开式，知其通项为Tr＋1＝C10－r(－x)r＝(－1)rCx2r－10，

令2r－10＝4，解得r＝7.

所以x4的系数为(－1)7C＝－120.

(2)(2019·浙江)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．

答案　16　5

解析　该二项展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C()9－rxr，当r＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当r＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.

命题点2　两个多项式积的展开式问题

例2　(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)

A．12  B．16  C．20  D．24

答案　A

解析　展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.

(2)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)

A．15  B．20  C．30  D．35

答案　C

解析　因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.

因为C＋C＝2C＝2×＝30，

所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.

故选C.

命题点3　三项展开式问题

例3　(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)

A．10   B．20

C．30   D．60

答案　C

解析　方法一　利用二项展开式的通项求解．

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.

其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.

所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.

方法二　利用排列组合知识求解．

(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.

(2)(2020·合肥检测)5展开式中的常数项为(　　)

A．1  B．11  C．－19  D．51

答案　B

解析　5＝5

展开式的通项为Tr＋1＝C5－r

当r＝5时，常数项为C＝1，

当r＝3时，常数项为－CC＝－20，

当r＝1时，常数项为CC＝30.

综上所述，常数项为1－20＋30＝11.

思维升华　(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．

(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．

跟踪训练1　(1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为(　　)

A．－3  B．－2  C．1  D．4

答案　B

解析　(x－1)4的通项为Tr＋1＝Cx4－r(－1)r，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2，故选B.

(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)

答案　

解析　通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，

∴r＝3，∴x7项的系数为Ca3＝15，

∴a3＝，∴a＝.

(3)(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为________．

答案　92

解析　方法一　(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C(1＋2x)5＋C(1＋2x)4(－3x2)＋C(1＋2x)3(－3x2)2＋…＋C(－3x2)5，

所以x5的系数为CC25＋CC×23×(－3)＋CC×2×(－3)2＝92.

方法二　(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为CC35＋C(－1)C34＋C(－1)2C33＋C(－1)3C32＋C(－1)4C31＋C(－1)5C30＝92.

二项式系数的和与各项系数的和问题

命题点1　二项式系数和与系数和

例4　(1)(2019·郑州一中测试)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(　　)

A．－1  B．1  C．27  D．－27

答案　A

解析　依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.

(2)(2019·宣城调研)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为(　　)

A．1   B．2

C．129   D．2 188

答案　C

解析　令x＝0得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，

又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，

则a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，解得a7＝－1.

故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.

命题点2　二项式系数的最值问题

例5　(2019·马鞍山模拟)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)

A．3  B．5  C．6  D．7

答案　D

解析　根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，

∴n的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x)20－r·r＝()20－r·C·，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共有7项．

思维升华　(1)形如(ax＋b)n，(ax3＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x＝1即可．

(2)当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.

跟踪训练2　(1)(2019·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)

A．29  B．210  C．211  D．212

答案　A

解析　由题意知C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.

(2)已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8

答案　B

解析　由题意可知，a＝C，b＝C，

∵13a＝7b，∴13·＝7·，

即＝，解得m＝6.

(3)(2019·合肥质检)已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________.

答案　3

解析　当x＝0时，(－1)5＝－1＝a0.当x＝1时，(m－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33－1＝32，则m－1＝2，m＝3.