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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第十章10.2排列、组合
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§10.2 排列、组合
最新考纲
考情考向分析
1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
1.以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力.
2.以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查.
1.排列与组合的概念
名称
定义
区别
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
排列有序，组合无序
组合
合成一组
2.排列数与组合数
定义
计算公式
性质
联系
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)A＝n！；
(2)0！＝1
C＝
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示
C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)C＝C＝1；
(2)C＝C；
(3)C＝C＋C
概念方法微思考
1.排列问题和组合问题的区别是什么？
提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.
2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？
提示 (1)排列数与组合数之间的联系为CA＝A.
(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.
前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.( × )
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.( √ )
题组二 教材改编
2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144 B.120 C.72 D.24
答案 D
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A.8 B.24 C.48 D.120
答案 C
解析 末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，
共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.
4.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________.
答案 24
解析 从4本书中选3本有C＝4(种)选法，把选出的3本送给3名同学，有A＝6(种)送法，所以不同的送法有CA＝4×6＝24(种).
题组三 易错自纠
5.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
答案 B
解析 第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，
有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法.
所以共有120＋96＝216(种)排法.
6.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________.
答案 30
解析 分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；
(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法.
所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种).
排列问题
1.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
答案 B
解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A－A)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.
2.(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是( )
A.3 600 B.1 440 C.4 820 D.4 800
答案 A
解析 除甲乙外，其余5个人排列数为A种，再用甲乙去插6个空位有A种，不同的排法种数是AA＝3 600(种).
3.3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数是________.
答案 4 320
解析 3名女生排在一起，有A种排法，把3名女生看作一个整体再与5名男生全排列有A种排法，故共有AA＝4 320(种)不同排法.
思维升华 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”.②不相邻问题采用“插空法”.③有限制元素采用“优先法”.④特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
组合问题
1.(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种.(用数字填写答案)
答案 16
解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种.故所求选法共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种).
方法二 间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故所求选法共有C－C＝20－4＝16(种).
2.(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________.
答案 182
解析 甲、乙中裁一人的方案有CC种，甲、乙都不裁的方案有C种，故不同的裁员方案共有CC＋C＝182(种).
3.从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________.
答案 596
解析 “至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，故可用间接法，所以有C－CC－C＝596(种).
思维升华 组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
排列与组合的综合问题
命题点1 相邻问题
例1 (2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
答案 C
解析 从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，
∴共有12×4＝48(种)不同排法.
命题点2 相间问题
例2 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
答案 B
解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.
命题点3 特殊元素(位置)问题
例3 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
答案 B
解析 根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，
有C×C×C＝12(种)乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.
思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类.
(2)按事情发生的过程进行分步.
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).
跟踪训练 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
答案 36
解析 将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法.于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种).
(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法.(用数字作答)
答案 660
解析 方法一 只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法.由分步乘法计数原理知，共有CCA＝480(种)选法.
有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法.由分步乘法计数原理知，共有CA＝180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法.
方法二 不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，
而没有女生的选法有AC种，
故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种).
1.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )
A.360种 B.480种 C.600种 D.720种
答案 C
解析 从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有CA＝600(种)，故选C.
2.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )
A.240种 B.192种 C.96种 D.48种
答案 B
解析 当丙和乙在甲的左侧时，共有ACAA＝96(种)排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法.
3.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A.16 B.18 C.24 D.32
答案 C
解析 将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法.
4.(2020·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )
A.A种 B.A种
C.AA种 D.CCAA种
答案 D
解析 红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CCAA种摆放方法.
5.(2020·临川一中月考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A.6 B.12 C.16 D.18
答案 B
解析 如果仅有A，B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有CA＝6(种)安排数，
如果有A，B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团入住b，c，此时共有CA＝6(种)安排数，
综上，共有不同的安排种数为12.
6.(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )
A.60种 B.20种 C.10种 D.8种
答案 C
解析 根据题意，可分为两步：
第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；
第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C＝10(种)情况.
故不同的开灯方案共有10×1＝10(种).
7.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上， 则5列火车不同的停靠方法数为( )
A.56 B.63 C.72 D.78
答案 D
解析 若没有限制，5列火车可以随便停，则有A种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A种，故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A－2A＋A＝120－48＋6＝78.
8.(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有( )
A.24种 B.28种 C.36种 D.48种
答案 D
解析 分类加法计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分.
(1)当红红之间有蓝时，则有AA＝24(种).
(2)当红红之间无蓝时，则有CACC＝24(种)；
因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法.
9.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种.(用数字作答)
答案 11
解析 把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种).
10.(2020·太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)
答案 120
解析 先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有CA＝12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有CA＝10(种)，故不同的发言顺序共有12×10＝120(种).
11.某校2020年元旦晚会对2个相声节目和5个小品节目安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有________种.
答案 1 320
解析 若第一个节目排相声甲，有A＝720(种)排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有AA＝600(种)排法.根据分类加法计数原理可得共有720＋600＝1 320(种)排法.
12.(2019·北京海淀区模拟)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法.
答案 84
解析 方法一 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分为三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A种；一类是从3个车队中各抽调1辆；有C种.故共有C＋A＋C＝84(种)抽调方法.
方法二 由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份.可看作将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C＝84(种)抽调方法.
13.(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
答案 D
解析 由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种).
14.某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答)
答案 114
解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有·A＝90(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，
故有90－18＝72(种)，
根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).
15.(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( )
A.55 B.59 C.66 D.71
答案 D
解析 记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0,1,2,7)，(0,1,3,6)，(0,1,4,5)，(0,2,3,5)，(1,2,3,4)，共五组.其中第一组(0,1,2,7)中，7排在首位有A＝6(种)情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A＝4(种)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3,6分别排在首位共有2A＝12(种)情形；第三组中4,5分别排在首位共有2A＝12(种)情形；第四组中2,3,5分别排在首位共有3A＝18(种)情形；第五组中2,3,4分别排在首位共有3A＝18(种)情形.依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个).
16.(2020·湖北八市重点高中联考)从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________.(用数字作答)
答案 23
解析 ①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C－C＝9，
②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C－C＝9，
③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C＝5，
综合①②③得，不同的选法种数为9＋9＋5＝23.
最新考纲
考情考向分析
1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
1.以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力.
2.以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查.
1.排列与组合的概念
名称
定义
区别
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
排列有序，组合无序
组合
合成一组
2.排列数与组合数
定义
计算公式
性质
联系
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)A＝n！；
(2)0！＝1
C＝
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示
C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)C＝C＝1；
(2)C＝C；
(3)C＝C＋C
概念方法微思考
1.排列问题和组合问题的区别是什么？
提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.
2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？
提示 (1)排列数与组合数之间的联系为CA＝A.
(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.
前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.( × )
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.( √ )
题组二 教材改编
2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144 B.120 C.72 D.24
答案 D
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A.8 B.24 C.48 D.120
答案 C
解析 末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，
共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.
4.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________.
答案 24
解析 从4本书中选3本有C＝4(种)选法，把选出的3本送给3名同学，有A＝6(种)送法，所以不同的送法有CA＝4×6＝24(种).
题组三 易错自纠
5.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
答案 B
解析 第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，
有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法.
所以共有120＋96＝216(种)排法.
6.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________.
答案 30
解析 分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；
(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法.
所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种).
排列问题
1.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
答案 B
解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A－A)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.
2.(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是( )
A.3 600 B.1 440 C.4 820 D.4 800
答案 A
解析 除甲乙外，其余5个人排列数为A种，再用甲乙去插6个空位有A种，不同的排法种数是AA＝3 600(种).
3.3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数是________.
答案 4 320
解析 3名女生排在一起，有A种排法，把3名女生看作一个整体再与5名男生全排列有A种排法，故共有AA＝4 320(种)不同排法.
思维升华 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”.②不相邻问题采用“插空法”.③有限制元素采用“优先法”.④特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
组合问题
1.(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种.(用数字填写答案)
答案 16
解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种.故所求选法共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种).
方法二 间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故所求选法共有C－C＝20－4＝16(种).
2.(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________.
答案 182
解析 甲、乙中裁一人的方案有CC种，甲、乙都不裁的方案有C种，故不同的裁员方案共有CC＋C＝182(种).
3.从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________.
答案 596
解析 “至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，故可用间接法，所以有C－CC－C＝596(种).
思维升华 组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
排列与组合的综合问题
命题点1 相邻问题
例1 (2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
答案 C
解析 从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，
∴共有12×4＝48(种)不同排法.
命题点2 相间问题
例2 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
答案 B
解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.
命题点3 特殊元素(位置)问题
例3 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
答案 B
解析 根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，
有C×C×C＝12(种)乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.
思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类.
(2)按事情发生的过程进行分步.
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).
跟踪训练 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
答案 36
解析 将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法.于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种).
(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法.(用数字作答)
答案 660
解析 方法一 只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法.由分步乘法计数原理知，共有CCA＝480(种)选法.
有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法.由分步乘法计数原理知，共有CA＝180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法.
方法二 不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，
而没有女生的选法有AC种，
故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种).
1.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )
A.360种 B.480种 C.600种 D.720种
答案 C
解析 从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有CA＝600(种)，故选C.
2.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )
A.240种 B.192种 C.96种 D.48种
答案 B
解析 当丙和乙在甲的左侧时，共有ACAA＝96(种)排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法.
3.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A.16 B.18 C.24 D.32
答案 C
解析 将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法.
4.(2020·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )
A.A种 B.A种
C.AA种 D.CCAA种
答案 D
解析 红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CCAA种摆放方法.
5.(2020·临川一中月考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A.6 B.12 C.16 D.18
答案 B
解析 如果仅有A，B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有CA＝6(种)安排数，
如果有A，B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团入住b，c，此时共有CA＝6(种)安排数，
综上，共有不同的安排种数为12.
6.(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )
A.60种 B.20种 C.10种 D.8种
答案 C
解析 根据题意，可分为两步：
第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；
第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C＝10(种)情况.
故不同的开灯方案共有10×1＝10(种).
7.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上， 则5列火车不同的停靠方法数为( )
A.56 B.63 C.72 D.78
答案 D
解析 若没有限制，5列火车可以随便停，则有A种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A种，故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A－2A＋A＝120－48＋6＝78.
8.(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有( )
A.24种 B.28种 C.36种 D.48种
答案 D
解析 分类加法计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分.
(1)当红红之间有蓝时，则有AA＝24(种).
(2)当红红之间无蓝时，则有CACC＝24(种)；
因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法.
9.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种.(用数字作答)
答案 11
解析 把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种).
10.(2020·太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)
答案 120
解析 先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有CA＝12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有CA＝10(种)，故不同的发言顺序共有12×10＝120(种).
11.某校2020年元旦晚会对2个相声节目和5个小品节目安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有________种.
答案 1 320
解析 若第一个节目排相声甲，有A＝720(种)排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有AA＝600(种)排法.根据分类加法计数原理可得共有720＋600＝1 320(种)排法.
12.(2019·北京海淀区模拟)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法.
答案 84
解析 方法一 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分为三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A种；一类是从3个车队中各抽调1辆；有C种.故共有C＋A＋C＝84(种)抽调方法.
方法二 由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份.可看作将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C＝84(种)抽调方法.
13.(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
答案 D
解析 由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种).
14.某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答)
答案 114
解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有·A＝90(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，
故有90－18＝72(种)，
根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).
15.(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( )
A.55 B.59 C.66 D.71
答案 D
解析 记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0,1,2,7)，(0,1,3,6)，(0,1,4,5)，(0,2,3,5)，(1,2,3,4)，共五组.其中第一组(0,1,2,7)中，7排在首位有A＝6(种)情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A＝4(种)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3,6分别排在首位共有2A＝12(种)情形；第三组中4,5分别排在首位共有2A＝12(种)情形；第四组中2,3,5分别排在首位共有3A＝18(种)情形；第五组中2,3,4分别排在首位共有3A＝18(种)情形.依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个).
16.(2020·湖北八市重点高中联考)从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________.(用数字作答)
答案 23
解析 ①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C－C＝9，
②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C－C＝9，
③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C＝5，
综合①②③得，不同的选法种数为9＋9＋5＝23.
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