（山东专用）2021版高考数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第七讲离散型随机变量及其分布列学案（含解析）

第七讲　离散型随机变量及其分布列

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一　离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为__随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为__离散型__随机变量．

知识点二　离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

称为离散型随机变量X的__概率分布列__，简称为X的分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝__p1＋p2＋…＋pn__＝1.

知识点三　常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为

其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布.

重要结论

1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．

2．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的．

双基自测

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论中正确的是(　ABC　)

A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变最

B．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的

C．从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布

D．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布

题组二　走进教材

2．(P77A组T1改编)设随机变量X的概率分布列为

则P(|X－3|＝1)＝____.

[解析]　由＋m＋＋＝1，解得m＝，

P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.

3．(P49A组T1)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是__0,1,2,3__.

[解析]　因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.

题组三　考题再现

4．(2019·郑州模拟)一盒中有12个大小、形状完全相同的小球，其中9个红的，3个黑的，从盒中任取3球，x表示取出的红球个数，P(x＝1)的值为(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意知，取出3球必是一红二黑，故P(x＝1)＝＝，选C项．

5．(2019·江西赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3球，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　C　)

[解析]　随机变量ξ的可能取值为1,2,3，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.故选C．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　离散型随机变量分布列的性质——自主练透

例1 (1)(2019·河南南阳联考)随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P(<X<)的值为(　D　)

A． B．

C． D．

(2)(2020·银川质检)若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝(　B　)

A．0.2 B．－0.2

C．0.8 D．－0.8

[解析]　(1)∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，

∴a(＋＋…＋)＝1，即(1－)a＝1，

∴a＝，∴P(<X<)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×＋×＝.

(2)易知a，b∈[0,1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，所以a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.

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(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，要注意检查每个概率值均为非负数．

(2)求随机变量在某个范围内的概率，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．

〔变式训练1〕

(2019·潍坊模拟)若随机变量X的分布列为

则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　C　)

A．(－∞，2] B．[1,2]

C．(1,2] D．(1,2)

[解析]　由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]，故选C．

考点二　离散型随机变量的分布列——多维探究

角度1　与互斥事件相关的分布列

例2 (2019·衡水模拟)大型亲子真人秀《爸爸去哪儿》(第五季)暖心回归，节目组要求五位明星爸爸在72小时的户外体验中，单独照顾子女的饮食起居，共同完成节目组设置的一系列任务．经过一季13期的录制，六位萌娃Neinei和Max、嗯哼、Jas－per、小泡芙、小山竹收获了一大批的粉丝，同时也带动各自星爸的事业发展．在第五季第8期的节目录制中，节目组请来了萌娃的妈妈们，并让萌娃和妈妈们一起玩“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让萌娃们去猜哪一个花轿里是自己的妈妈．假设各位萌娃都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的．

(1)已知嗯哼的妈妈在某个花轿里，如果给嗯哼两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自己妈妈的概率；

(2)如果四位妈妈所对应的四位萌娃一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为X，求X的分布列与数学期望．

[解析]　(1)记“嗯哼选到自己妈妈”为事件A，

则P(A)＝＋×＝.

(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,4，

P(X＝4)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝1)＝，

P(X＝0)＝1－P(X＝4)－P(X＝2)－P(X＝1)＝.

所以随机变量X的分布列为

则E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.

角度2　与独立事件相关的分布列

例3 (2020·四川省遂宁诊断)福建电视台少儿频道的少儿竞技类节目——《宝贝向前冲》于2005年6月创办，节目内容丰富，形式多样，栏目的特色在于开发和推广简单的、有趣的校园或家庭挑战游戏项目，并最大限度地利用电视手段将简单的游戏制作成吸引观众的电视节目．近日《宝贝向前冲》节目组举办了一个共有五关的闯关节目，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会(后两关总共只有一次机会)，已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是.

(1)求该人获得奖金的概率；

(2)设该人通过的关数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

[解析]　(1)设事件Ai为“第i关通过”，事件A为“获得奖金”，

∴该人获得奖金的概率：

P(A)＝P(A1A2A3A4A5)＋P(A1A2A34A4A5)＋P(A1A2A3A45A5)　

＝()3·()2＋()3···＋()3···＝.

(2)X的取值为0,1,2,3,4,5，

P(X＝0)＝P(1)＝，

P(X＝1)＝P(A12)＝×＝，

P(X＝2)＝P(A1A23)＝××＝，

P(X＝3)＝P(A1A2A344)＝()3×()2＝，

P(X＝5)＝P(A)＝，

P(X＝4)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝5)]＝，

∴X的分布列为：

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.

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求离散型随机变量X的分布列的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；

(2)求X取每个值的概率；

(3)写出X的分布列．

〔变式训练2〕

(2017·天津，16)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

[解析]　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝，

P(X＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，

P(X＝2)＝(1－)××＋×(1－)×＋××(1－)＝，

P(X＝3)＝××＝.

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)

＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)

＝×＋×

＝.

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

考点三　超几何分布——师生共研

例4 (2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．

[解析]　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，

则P(M)＝＝.

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝.

因此X的分布列为

[引申1]用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，则X的分布列为_________.

[解析]　由题意可知X的取值为1,2,3,4,5，

则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，

P(X＝5)＝＝.

因此X的分布列为

[引申2]用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，则X的分布列为_________.

[解析]　由题意知X可取的值为3,1，－1，－3，－5.

则P(X＝3)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝－1)＝＝，P(X＝－3)＝＝，

P(X＝－5)＝＝，

因此X的分布列为

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1．超几何分布的两个特点：

(1)超几何分布是不放回抽样问题；

(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．

2．超几何分布的应用：超几何分布属于古典概型，主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型．

〔变式训练3〕

(2020·安徽省淮北市模拟)有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a、b、c表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标λ＝a＋b＋c的值评定石榴的等级，若λ≥4则为一级；若2≤λ≤3则为二级；若0≤λ≤1则为三级．近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：

(1)若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；

(2)在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

[解析]　(1)计算12个石榴种植园的综合指标，可得下表

由上表可知等级为一级的有5个，

所以等级为一等的频率为，

所以120个石榴种植园中一级种植园约有50个．

(2)由题意ξ可以取0、1、2，

其中P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

∴ξ的分布列为

故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

离散型随机变量分布列中的停止型问题

例5 (2020·甘肃天水一中阶段测试)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响且无平局．求：

(1)前三局比赛甲队领先的概率；

(2)设本场比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望．(用分数表示)

[解析]　(1)设“甲队胜三局\”为事件A，“甲队胜二局\”为事件B，则P(A)＝()3＝，P(B)＝()2×＝，

所以，前三局比赛甲队领先的概率为

P(A)＋P(B)＝

(2)甲队胜三局或乙胜三局，

P(ξ＝3)＝()3＋()3＝.

甲队或乙队前三局胜2局，第4局获胜

P(ξ＝4)＝C()2××＋C()2××＝.

甲队或乙队前四局胜2局，第5局获胜

P(ξ＝5)＝C()2×()2×＋C()2×()2×＝.

∴ξ的分布列为：

∴ξ数学期望为

E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝.

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解决这类终止型问题，一定要弄清终止的条件，根据终止的条件确定各种可能结果，再计算相应概率

〔变式训练4〕

设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．

(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；

(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．

[解析]　记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P(k)＝，k＝1,2,3,4,5，

(1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为

P(A12)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)

＝×＋×＝.

解法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝.

(2)X的所有可能值为2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(12)

＝×＋×＝，

P(X＝3)＝P(A123)＋P(1A2A3)

＝×()2＋×()2＝，

P(X＝4)＝P(A12A3A4)＋P(1A234)

＝()3×＋()3×＝，

P(X＝5)＝P(A12A34)＋P(1A23A4)

＝()2×()2＋()2×()2＝.

故X的分布列为