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第61讲 离散型随机变量的均值与方差-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
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第61讲:离散型随机变量的均值与方差
一、 课程标准
1、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.
2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
3、利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
二、 基础知识回顾
1. 离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)=xi-E(x)]2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,D(X)越小,稳定性越高,波动性越小,其算术平方根为随机变量X的标准差.
2. 均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).
3. 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差
(1)若X服从两点分布,则E(X)=____,D(X)=p(1-p).
(2)若X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
(3)若X服从超几何分布,即X~H(n,M,N)时,E(X)=.
4. 正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数μ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差).
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方与x轴不相交;②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值;④曲线与x轴之间的面积为____;
⑤当σ一定时,曲线随着____的变化而沿x轴平移;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;,σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
5. 正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b(a (2)正态分布的三个常用数据
①P(μ-σ
②P(μ-2σ
③P(μ-3σ
三、 自主热身、归纳总结
1、已知随机变量X~B,D(2X+1)=( )
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】 ∵随机变量X~B,所以D(X)=6××(1-)=,所以D(2X+1)=4D(X)=4×=6.故选B.
2、 已知随机变量X的分布列为
X
0
1
P
p
1-p
若D(X)=,则p的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 由题可知随机变量X的期望E(X)=1-p,所以方差D(X)=p×2+×2=,解得p=.故选A.
3、 设随机变量X~N(3,σ2),若P(X>m)=0.3,则P(X>6-m)=
【答案】 0.7
【解析】 因为P(X>m)=0.3,所以P(X<6-m)=0.3,所以P(X>6-m)=1-P(X<6-m)=0.7.
4、已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
设Y=2X+3,则E(Y)的值为
【答案】
【解析】 因为E(X)=-+=-,所以E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.
5、某校在一次月考中约有600人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布X~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分).统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有 人.
【答案】 120
【解析】 因为成绩服从正态分布X~N(90,a2),所以其正态分布曲线关于直线x=90对称.又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的×=,所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×600=120(人).
四、 例题选讲
考点一 离散型随机变量的均值与方差
例1、(2020届山东省德州市高三上期末)随机变量的取值为、、,,,则______.
【答案】
【解析】设,其中,可得出,
,
,解得,
因此,.
故答案为:.
变式1、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”,吸引了大批投资商的目光,一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一:天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式,是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院,每个天坑院投资0.2百万元,假设每个天坑院是否盈利是相互独立的,据市场调研,到2020年底每个天坑院盈利的概率为,若盈利则盈利投资额的40%,否则盈利额为0.
项目二:天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研,投资到该项目上,到2020年底可能盈利投资额的50%,也可能亏损投资额的30%,且这两种情况发生的概率分别为p和.
(1)若投资项目一,记为盈利的天坑院的个数,求(用p表示);
(2)若投资项目二,记投资项目二的盈利为百万元,求(用p表示);
(3)在(1)(2)两个条件下,针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个项目,并说明理由.
【解析】(1)解:由题意
则盈利的天坑院数的均值.
(2)若投资项目二,则的分布列为
2
-1.2
盈利的均值.
(3)若盈利,则每个天坑院盈利(百万元),
所以投资建设20个天坑院,盈利的均值为
(百万元).
①当时,,
解得.
.故选择项目一.
②当时,,
解得.
此时选择项一.
③当时,,解得.
此时选择项二.
变式2、一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止.
(1)求恰好摸4次停止的概率;
(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X,求随机变量X的概率分布与数学期望.
【解析】 (1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P,则P=C×()2××=.
∴恰好摸4次停止的概率为.
(2)由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=C×()4=,P(X=1)=C×()×()3=,P(X=2)=C×()2×()2=,
P(X=3)=1---=,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)=0·+1·+2·+3·=.
变式3、某学校组建了由2名男选手和n名女选手组成的“汉字听写大会”集训队,每次参赛均从集训队中任意选派2名选手参加省队选拔赛.
(1)若n=2,记某次选派中被选中的男生人数为随机变量X,求随机变量X的概率分布和数学期望;
(2)若n≥2,该校要参加三次“汉字听写大会”,每次从集训队中选2名选手参赛,求n为何值时,三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值.
【解析】 (1)当n=2时,X可能的取值为0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,则随机变量X的概率分布如下表:
X
0
1
2
P
∴E(X)=0×+1×+2×=1.
(2)一次参加比赛全是男生或全是女生的概率为P==.
三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率为f(P)=CP(1-P)2=3P3-6P2+3P,
则f′(P)=9P2-12P+3=3(P-1)(3P-1),
易知当P=时,f(P)取得最大值,所以=,解得n=2.
方法总结: 求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤:
①判断取值:先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值;
②探求概率:利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式)等,求出随机变量取每个值时的概率;
③写分布列:按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正确;
④求期望值和方差:利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值.对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X~B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望与方差公式,可加快解题速度.
考点二 均值与方差的性质的应用
例2、(2020届浙江省杭州市高三3月模拟)已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x,P(ξ=1) =1-x,若则( )
A.E(ξ)随着x的增大而增大,D (ξ)随着x的增大而增大
B.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而增大
C.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而减小
D.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而减小
【答案】B
【解析】依题意,在区间上是减函数.
,注意到函数的开口向下,对称轴为,所以在区间上是增函数,也即在区间上是增函数.
故选:B
变式1、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)某射手射击所得环数的分布列如下:
7
8
9
10
已知的数学期望,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知:,
解得.
故选:B.
变式2、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)已知随机变量X的分布列如下:
若随机变量Y满足,则Y的方差( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知,则,
则,
所以.
故选:D
变式3、袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一个球,X表示所取球的标号.
(1)求X的概率分布、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.
【解析】 (1)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.
故X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5.
D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.
(2)由D (Y)=a2 D (X),得a2×2.75=11,即a=±2.
又E(Y)=aE(X)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2.
当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4. 故或
变式4、设随机变量X的概率分布为P(X=k)=,k=1,2,3,4,5.求E(X+2)2,D(2X-1),的值.
【解析】 ∵E(X)=1×+2×+3×+4×+5×==3,
E(X2)=1×+22×+32×+42×+52×=11,
D(X)=(1-3)2×+(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×+(5-3)2×=×(4+1+0+1+4)=2,
故E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4=11+12+4=27,
D(2X-1)=4V(X)=8,==.
方法总结:掌握下述有关均值与方差的常用性质,会给解题带来方便:
(1)E(aξ+b)=aE(ξ)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);
D (aξ+b)=a2 D (ξ);
(2)若ξ~B(n,p),则E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p).
考点三 正态分布及其简单应用
例3、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知随机变量服从正态分布,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知,正态分布曲线关于对称, ,
根据对称性可知,,
.
故选:C
变式1、(2020届山东省烟台市高三上期末)已知随机变量,,则__________.
【答案】0.1
【解析】因为随机变量服从正态分布,
所以曲线关于对称,
因为,
所以
故答案为:0.1
变式2、为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径
mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合
计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算,样本的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值,用样本估计总体.
(1)将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品,从设备M的生产流水线上随意抽取3个零件,计算其中次品个数Y的数学期望E;
(2)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率):
①P(μ-σ
【解析】(1)由图表知道:直径小于或等于μ-2σ的零件有2件,大于μ+2σ的零件有4件,共计6件,从设备M的生产流水线上任取一件,取到次品的概率为=,依题意Y~B,故E(Y)=3×=;
(2)由题意知,μ-σ=62.8,μ+σ=67.2,
μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,μ-3σ=58.4,
μ+3σ=71.6,
所以由图表知道:
P(μ-σ0.682 6,
P(μ-2σ
P(μ-3σ
所以该设备M的性能为丙级别.
方法总结:对于正态分布题型的数据分析,需要结合μ,σ的含义来进行理解,根据题设中如P(μ-σ
五、优化提升与真题演练
1、(2019年高考浙江卷)设0<a<1,则随机变量X的分布列是
则当a在(0,1)内增大时,( )
A.增大 B.减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
【答案】D
【解析】方法1:由分布列得,
则,
则当在内增大时,先减小后增大.故选D.
方法2:则,
则当在内增大时,先减小后增大.故选D.
2、(2018年高考全国Ⅲ卷理数)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,,则( )
A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
【答案】B
【解析】∵,∴或,
,
,可知,故.故选B.
3、(2018年高考浙江卷)设,随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
则当p在(0,1)内增大时,( )
A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小
【答案】D
【解析】∵E(ξ)=0×1-p2+1×12+2×p2=p+12,∴D(ξ)=1-p2(0-p-12)2+12(1-p-12)2+p2(2-p-12)2=-p2+p+14,∵12∈(0,1),∴D(ξ)先增大后减小,故选D.
4、(2020年高考浙江)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为,则_______,_______.
【答案】,
【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球,第二次拿红球,
所以,
随机变量,
,
,
所以.
故答案为:.
5、(2019年高考全国Ⅰ卷理数)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是______________.
【答案】
【解析】前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以获胜的概率是综上所述,甲队以获胜的概率是
6、(2019年高考天津卷理数)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;
(2)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.
【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故,从而.
所以,随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为,
则,且.
由题意知事件与互斥,
且事件与,事件与均相互独立,
从而由(1)知
.
7、(2020届山东省九校高三上学期联考)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范,具体表现为:解题结果正确,无明显推理错误,但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等,记此类解答为“类解答”.为评估此类解答导致的失分情况,某市教研室做了一项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“类解答”的题目,扫描后由近百名数学老师集体评阅,统计发现,满分12分的题,阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表:
教师评分(满分12分)
11
10
9
各分数所占比例
某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两名老师独立评分,称为一评和二评,当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时,取两者平均分为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于1分时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分;当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时,取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“类解答”所评分数及比例均如上表所示,比例视为概率,且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响).
(1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“类解答”,求甲同学此题得分的分布列及数学期望;
(2)本次数学考试有6个解答题,每题满分均为12分,同学乙6个题的解答均为“类解答”,记该同学6个题中得分为的题目个数为,,,计算事件“”的概率.
【解析】
(1)随机变量的可能取值为9、9.5、10、10.5、11,
设一评、二评、仲裁所打分数分别为,,,
,
,
,
,
.
所以分布列如下表:
可能取值
9
9.5
10
10.5
11
概率
数学期望(分).
(2)∵,∴,
∵,
,
,
,
,
∴.
一、 课程标准
1、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.
2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
3、利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
二、 基础知识回顾
1. 离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)=xi-E(x)]2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,D(X)越小,稳定性越高,波动性越小,其算术平方根为随机变量X的标准差.
2. 均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).
3. 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差
(1)若X服从两点分布,则E(X)=____,D(X)=p(1-p).
(2)若X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
(3)若X服从超几何分布,即X~H(n,M,N)时,E(X)=.
4. 正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数μ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差).
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方与x轴不相交;②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值;④曲线与x轴之间的面积为____;
⑤当σ一定时,曲线随着____的变化而沿x轴平移;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;,σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
5. 正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b(a (2)正态分布的三个常用数据
①P(μ-σ
1、已知随机变量X~B,D(2X+1)=( )
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】 ∵随机变量X~B,所以D(X)=6××(1-)=,所以D(2X+1)=4D(X)=4×=6.故选B.
2、 已知随机变量X的分布列为
X
0
1
P
p
1-p
若D(X)=,则p的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 由题可知随机变量X的期望E(X)=1-p,所以方差D(X)=p×2+×2=,解得p=.故选A.
3、 设随机变量X~N(3,σ2),若P(X>m)=0.3,则P(X>6-m)=
【答案】 0.7
【解析】 因为P(X>m)=0.3,所以P(X<6-m)=0.3,所以P(X>6-m)=1-P(X<6-m)=0.7.
4、已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
设Y=2X+3,则E(Y)的值为
【答案】
【解析】 因为E(X)=-+=-,所以E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.
5、某校在一次月考中约有600人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布X~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分).统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有 人.
【答案】 120
【解析】 因为成绩服从正态分布X~N(90,a2),所以其正态分布曲线关于直线x=90对称.又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的×=,所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×600=120(人).
四、 例题选讲
考点一 离散型随机变量的均值与方差
例1、(2020届山东省德州市高三上期末)随机变量的取值为、、,,,则______.
【答案】
【解析】设,其中,可得出,
,
,解得,
因此,.
故答案为:.
变式1、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”,吸引了大批投资商的目光,一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一:天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式,是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院,每个天坑院投资0.2百万元,假设每个天坑院是否盈利是相互独立的,据市场调研,到2020年底每个天坑院盈利的概率为,若盈利则盈利投资额的40%,否则盈利额为0.
项目二:天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研,投资到该项目上,到2020年底可能盈利投资额的50%,也可能亏损投资额的30%,且这两种情况发生的概率分别为p和.
(1)若投资项目一,记为盈利的天坑院的个数,求(用p表示);
(2)若投资项目二,记投资项目二的盈利为百万元,求(用p表示);
(3)在(1)(2)两个条件下,针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个项目,并说明理由.
【解析】(1)解:由题意
则盈利的天坑院数的均值.
(2)若投资项目二,则的分布列为
2
-1.2
盈利的均值.
(3)若盈利,则每个天坑院盈利(百万元),
所以投资建设20个天坑院,盈利的均值为
(百万元).
①当时,,
解得.
.故选择项目一.
②当时,,
解得.
此时选择项一.
③当时,,解得.
此时选择项二.
变式2、一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止.
(1)求恰好摸4次停止的概率;
(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X,求随机变量X的概率分布与数学期望.
【解析】 (1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P,则P=C×()2××=.
∴恰好摸4次停止的概率为.
(2)由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=C×()4=,P(X=1)=C×()×()3=,P(X=2)=C×()2×()2=,
P(X=3)=1---=,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)=0·+1·+2·+3·=.
变式3、某学校组建了由2名男选手和n名女选手组成的“汉字听写大会”集训队,每次参赛均从集训队中任意选派2名选手参加省队选拔赛.
(1)若n=2,记某次选派中被选中的男生人数为随机变量X,求随机变量X的概率分布和数学期望;
(2)若n≥2,该校要参加三次“汉字听写大会”,每次从集训队中选2名选手参赛,求n为何值时,三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值.
【解析】 (1)当n=2时,X可能的取值为0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,则随机变量X的概率分布如下表:
X
0
1
2
P
∴E(X)=0×+1×+2×=1.
(2)一次参加比赛全是男生或全是女生的概率为P==.
三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率为f(P)=CP(1-P)2=3P3-6P2+3P,
则f′(P)=9P2-12P+3=3(P-1)(3P-1),
易知当P=时,f(P)取得最大值,所以=,解得n=2.
方法总结: 求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤:
①判断取值:先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值;
②探求概率:利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式)等,求出随机变量取每个值时的概率;
③写分布列:按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正确;
④求期望值和方差:利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值.对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X~B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望与方差公式,可加快解题速度.
考点二 均值与方差的性质的应用
例2、(2020届浙江省杭州市高三3月模拟)已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x,P(ξ=1) =1-x,若则( )
A.E(ξ)随着x的增大而增大,D (ξ)随着x的增大而增大
B.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而增大
C.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而减小
D.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而减小
【答案】B
【解析】依题意,在区间上是减函数.
,注意到函数的开口向下,对称轴为,所以在区间上是增函数,也即在区间上是增函数.
故选:B
变式1、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)某射手射击所得环数的分布列如下:
7
8
9
10
已知的数学期望,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知:,
解得.
故选:B.
变式2、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)已知随机变量X的分布列如下:
若随机变量Y满足,则Y的方差( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知,则,
则,
所以.
故选:D
变式3、袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一个球,X表示所取球的标号.
(1)求X的概率分布、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.
【解析】 (1)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.
故X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5.
D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.
(2)由D (Y)=a2 D (X),得a2×2.75=11,即a=±2.
又E(Y)=aE(X)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2.
当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4. 故或
变式4、设随机变量X的概率分布为P(X=k)=,k=1,2,3,4,5.求E(X+2)2,D(2X-1),的值.
【解析】 ∵E(X)=1×+2×+3×+4×+5×==3,
E(X2)=1×+22×+32×+42×+52×=11,
D(X)=(1-3)2×+(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×+(5-3)2×=×(4+1+0+1+4)=2,
故E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4=11+12+4=27,
D(2X-1)=4V(X)=8,==.
方法总结:掌握下述有关均值与方差的常用性质,会给解题带来方便:
(1)E(aξ+b)=aE(ξ)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);
D (aξ+b)=a2 D (ξ);
(2)若ξ~B(n,p),则E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p).
考点三 正态分布及其简单应用
例3、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知随机变量服从正态分布,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知,正态分布曲线关于对称, ,
根据对称性可知,,
.
故选:C
变式1、(2020届山东省烟台市高三上期末)已知随机变量,,则__________.
【答案】0.1
【解析】因为随机变量服从正态分布,
所以曲线关于对称,
因为,
所以
故答案为:0.1
变式2、为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径
mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合
计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算,样本的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值,用样本估计总体.
(1)将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品,从设备M的生产流水线上随意抽取3个零件,计算其中次品个数Y的数学期望E;
(2)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率):
①P(μ-σ
(2)由题意知,μ-σ=62.8,μ+σ=67.2,
μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,μ-3σ=58.4,
μ+3σ=71.6,
所以由图表知道:
P(μ-σ
P(μ-2σ
方法总结:对于正态分布题型的数据分析,需要结合μ,σ的含义来进行理解,根据题设中如P(μ-σ
1、(2019年高考浙江卷)设0<a<1,则随机变量X的分布列是
则当a在(0,1)内增大时,( )
A.增大 B.减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
【答案】D
【解析】方法1:由分布列得,
则,
则当在内增大时,先减小后增大.故选D.
方法2:则,
则当在内增大时,先减小后增大.故选D.
2、(2018年高考全国Ⅲ卷理数)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,,则( )
A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
【答案】B
【解析】∵,∴或,
,
,可知,故.故选B.
3、(2018年高考浙江卷)设,随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
则当p在(0,1)内增大时,( )
A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小
【答案】D
【解析】∵E(ξ)=0×1-p2+1×12+2×p2=p+12,∴D(ξ)=1-p2(0-p-12)2+12(1-p-12)2+p2(2-p-12)2=-p2+p+14,∵12∈(0,1),∴D(ξ)先增大后减小,故选D.
4、(2020年高考浙江)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为,则_______,_______.
【答案】,
【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球,第二次拿红球,
所以,
随机变量,
,
,
所以.
故答案为:.
5、(2019年高考全国Ⅰ卷理数)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是______________.
【答案】
【解析】前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以获胜的概率是综上所述,甲队以获胜的概率是
6、(2019年高考天津卷理数)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;
(2)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.
【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故,从而.
所以,随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为,
则,且.
由题意知事件与互斥,
且事件与,事件与均相互独立,
从而由(1)知
.
7、(2020届山东省九校高三上学期联考)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范,具体表现为:解题结果正确,无明显推理错误,但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等,记此类解答为“类解答”.为评估此类解答导致的失分情况,某市教研室做了一项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“类解答”的题目,扫描后由近百名数学老师集体评阅,统计发现,满分12分的题,阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表:
教师评分(满分12分)
11
10
9
各分数所占比例
某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两名老师独立评分,称为一评和二评,当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时,取两者平均分为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于1分时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分;当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时,取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“类解答”所评分数及比例均如上表所示,比例视为概率,且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响).
(1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“类解答”,求甲同学此题得分的分布列及数学期望;
(2)本次数学考试有6个解答题,每题满分均为12分,同学乙6个题的解答均为“类解答”,记该同学6个题中得分为的题目个数为,,,计算事件“”的概率.
【解析】
(1)随机变量的可能取值为9、9.5、10、10.5、11,
设一评、二评、仲裁所打分数分别为,,,
,
,
,
,
.
所以分布列如下表:
可能取值
9
9.5
10
10.5
11
概率
数学期望(分).
(2)∵,∴,
∵,
,
,
,
,
∴.
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