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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第十章10.3二项式定理
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§10.3 二项式定理
最新考纲
考情考向分析
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点.本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.
1.二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项公式
Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C，C，…，C
2.二项式系数的性质
(1)C＝1，C＝1，C＝C＋C.
C＝C(0≤m≤n).
(2)二项式系数先增后减中间项最大.
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为，当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.
(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
概念方法微思考
1.(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
提示 (a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
提示 不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项.( × )
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( √ )
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( √ )
题组二 教材改编
2.(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A.80 B.40 C.20 D.10
答案 B
解析 Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C·22＝40.
3.若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A.10 B.20 C.30 D.120
答案 B
解析 二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.
4.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案 B
解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
题组三 易错自纠
5.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
A.C B.C
C.C D.(－1)m－1C
答案 D
解析 (x－y)n二项展开式第m项的通项公式为
Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，
所以系数为C(－1)m－1.
6.在n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________.
答案 1
解析 因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.
在5中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
多项展开式的特定项
命题点1 二项展开式问题
例1 (1)(2019·天津)8的展开式中的常数项为________.
答案 28
解析 二项展开式的通项Tk＋1＝C(2x)8－kk＝k·28－kCx8－4k，令8－4k＝0可得k＝2，故常数项为2×26×C＝28.
(2)(2019·浙江)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.
答案 16 5
解析 该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
命题点2 两个多项式积的展开式问题
例2 (1)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A.12 B.16 C.20 D.24
答案 A
解析 展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.
(2)(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2的系数为( )
A.15 B.20 C.30 D.35
答案 C
解析 因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.
故选C.
命题点3 三项展开式问题
例3 (1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
答案 C
解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解.
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
方法二 利用排列组合知识求解.
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.
(2)(2020·合肥检测)5展开式中的常数项为( )
A.1 B.11 C.－19 D.51
答案 B
解析 5＝5
展开式的通项为Tk＋1＝C5－k
当k＝5时，常数项为C＝1，
当k＝3时，常数项为－CC＝－20，
当k＝1时，常数项为CC＝30.
综上所述，常数项为1－20＋30＝11.
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.
跟踪训练1 (1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为( )
A.－3 B.－2 C.1 D.4
答案 B
解析 (x－1)4的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2，故选B.
(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
答案
解析 通项为Tk＋1＝Cx10－kak，令10－k＝7，
∴k＝3，∴x7项的系数为Ca3＝15，
∴a3＝，∴a＝.
(3)(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为________.
答案 92
解析 方法一 (1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C(1＋2x)5＋C(1＋2x)4(－3x2)＋C(1＋2x)3(－3x2)2＋…＋C(－3x2)5，
所以x5的系数为CC25＋CC×23×(－3)＋CC×2×(－3)2＝92.
方法二 (1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为CC35＋C(－1)C34＋C(－1)2C33＋C(－1)3C32＋C(－1)4C31＋C(－1)5C30＝92.
二项式系数的和与各项系数的和问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例4 (1)(2019·郑州一中测试)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )
A.－1 B.1 C.27 D.－27
答案 A
解析 依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.
(2)(2019·宣城调研)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为( )
A.1 B.2
C.129 D.2 188
答案 C
解析 令x＝0得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
则a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.
命题点2 二项式系数的最值问题
例5 (2019·马鞍山模拟)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A.3 B.5 C.6 D.7
答案 D
解析 根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴n的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x)20－k·k＝()20－k·C·，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共有7项.
思维升华 (1)形如(ax＋b)n，(ax3＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x＝1即可.
(2)当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.
跟踪训练2 (1)(2019·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A.29 B.210
C.211 D.212
答案 A
解析 由题意知C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
(2)(2019·合肥质检)已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________.
答案 3
解析 当x＝0时，(－1)5＝－1＝a0.当x＝1时，(m－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33－1＝32，则m－1＝2，m＝3.
(3)已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B
解析 由题意可知，a＝C，b＝C，
∵13a＝7b，∴13·＝7·，
即＝，解得m＝6.
1.(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中，沙洋中学联考)在6的展开式中，常数项为( )
A.－240 B.－60 C.60 D.240
答案 D
解析 6的二项展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)6－kk＝C(－2)kx12－3k，
令12－3k＝0得k＝4，
即常数项为T5＝C(－2)4＝240.
2.(2020·秦皇岛模拟)5的展开式中x3项的系数为( )
A.80 B.－80 C.－40 D.48
答案 B
解析 5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)5－k·k＝(－1)k·25－k·C·x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1.于是展开式中x3项的系数为(－1)·25－1·C＝－80，故选B.
3.(2019·十堰调研)若n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 n展开式的通项为C(x6)n－k ＝C，k＝0,1,2，…n，
则依题设，由6n－k＝0，
得n＝k，∴n的最小值等于5.
4.(2020·广州海珠区模拟)(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为( )
A.－80 B.－40 C.40 D.80
答案 D
解析 (2x－y)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)6－k(－y)k，当k＝2时，T3＝240x4y2，当k＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D.
5.(2019·江淮十校考前最后一卷)已知(x＋1)(2x＋a)5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是( )
A.－40 B.－20 C.20 D.40
答案 D
解析 令x＝1，可得(x＋1)(2x＋a)5的展开式中各项系数和为2(2＋a)5＝2.
∴a＝－1.
二项式(2x－1)5的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)5－k·(－1)k
＝25－k·(－1)k·C·x5－k，
所以(x＋1)(2x－1)5的展开式中含x3项的系数为22(－1)3C＋23(－1)2C＝40.
6.(2020·安徽安庆期末)在二项式n的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是( )
A.35 B.－35 C.－56 D.56
答案 C
解析 由于第五项的二项式系数最大，所以n＝8.所以二项式8展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx8－k(－x－1)k＝(－1)kCx8－2k，令8－2k＝2，得k＝3，故展开式中含有x2项的系数是(－1)3C＝－56.
7.(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为( )
A.21 B.35 C.45 D.28
答案 B
解析 ∵Tk＋1＝C(3x)k＝3kCxk，由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，因此，x4的二项式系数为C＝35，故选B.
8.(2019·郑州质检)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( )
A.50 B.70 C.90 D.120
答案 C
解析 令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.
二项展开式的通项Tk＋1＝Cx5－kk＝C3k，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系数为C32＝90.
9.(2020·焦作期中)(x－)6的展开式中，含x5项的系数为________.
答案 15
解析 展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)k·，
令6－＝5，得k＝2，
故含x5的系数为C＝15.
10.(2019·晋城模拟)(2－3x)2(1－x)7的展开式中，x3的系数为________.
答案 －455
解析 依题意，x3的系数为4C×(－1)3－12C(－1)2＋9C(－1)＝－455.
11.已知(2x＋1)5(a≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a＝________，展开式中常数项为________.
答案 － 10
解析 在(2x＋1)5中，
令x＝1，得(a＋1)·35＝81，解得a＝－，
所以(2x＋1)5的展开式中的常数项为
·C·2x＝10.
12.(2019·怀化模拟)若在n的二项展开式中，第3项和第4项的二项式系数相等且最大，则·n的展开式中的常数项为________.
答案 －120
解析 由n的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，
则展开式共6项，即n＝6－1＝5，又n展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－kk＝25－kCx5－2k，
则·n的展开式中的常数项为22C－2·23C＝－120.
13.已知(xcos θ＋1)5的展开式中x2的系数与4的展开式中x3的系数相等，且θ∈(0，π)，则θ等于( )
A. B.或
C. D.或
答案 B
解析 由二项式定理知(xcos θ＋1)5的展开式中x2的系数为Ccos2θ，4的展开式中x3的系数为C×，所以Ccos2θ＝C×，解得cos2θ＝，解得cos θ＝±，又θ∈(0，π)，所以θ＝或，故选B.
14.5的展开式中常数项是________.
答案 －1 683
解析 5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x,2x，，，－3，则此时的常数项为C·C·22·(－3)＝－360，第二种情况是从五个中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243，第三种情况是从五个中分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C·C·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.
15.(2019·衡水中学调研卷)设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm).若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod10)，则b的值可以是( )
A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021
答案 D
解析 a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2 021.
16.若n展开式中前三项的系数和为163，求：
(1)展开式中所有x的有理项；
(2)展开式中系数最大的项.
解 易求得展开式前三项的系数为1,2C，4C.
由题意得1＋2C＋4C＝163，可得n＝9.
(1)设展开式中的有理项为Tk＋1，
由Tk＋1＝C()9－kk＝2kC，
又∵0≤k≤9，∴k＝2,6.
故有理项为T3＝22C·＝144x3，
T7＝26·C·＝5 376.
(2)设展开式中Tk＋1项的系数最大，则
∴≤k≤，
又∵k∈N，∴k＝6，
故展开式中系数最大的项为T7＝5 376.
最新考纲
考情考向分析
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点.本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.
1.二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项公式
Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C，C，…，C
2.二项式系数的性质
(1)C＝1，C＝1，C＝C＋C.
C＝C(0≤m≤n).
(2)二项式系数先增后减中间项最大.
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为，当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.
(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
概念方法微思考
1.(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
提示 (a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
提示 不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项.( × )
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( √ )
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( √ )
题组二 教材改编
2.(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A.80 B.40 C.20 D.10
答案 B
解析 Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C·22＝40.
3.若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A.10 B.20 C.30 D.120
答案 B
解析 二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.
4.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案 B
解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
题组三 易错自纠
5.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
A.C B.C
C.C D.(－1)m－1C
答案 D
解析 (x－y)n二项展开式第m项的通项公式为
Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，
所以系数为C(－1)m－1.
6.在n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________.
答案 1
解析 因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.
在5中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
多项展开式的特定项
命题点1 二项展开式问题
例1 (1)(2019·天津)8的展开式中的常数项为________.
答案 28
解析 二项展开式的通项Tk＋1＝C(2x)8－kk＝k·28－kCx8－4k，令8－4k＝0可得k＝2，故常数项为2×26×C＝28.
(2)(2019·浙江)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.
答案 16 5
解析 该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
命题点2 两个多项式积的展开式问题
例2 (1)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A.12 B.16 C.20 D.24
答案 A
解析 展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.
(2)(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2的系数为( )
A.15 B.20 C.30 D.35
答案 C
解析 因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.
故选C.
命题点3 三项展开式问题
例3 (1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
答案 C
解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解.
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
方法二 利用排列组合知识求解.
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.
(2)(2020·合肥检测)5展开式中的常数项为( )
A.1 B.11 C.－19 D.51
答案 B
解析 5＝5
展开式的通项为Tk＋1＝C5－k
当k＝5时，常数项为C＝1，
当k＝3时，常数项为－CC＝－20，
当k＝1时，常数项为CC＝30.
综上所述，常数项为1－20＋30＝11.
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.
跟踪训练1 (1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为( )
A.－3 B.－2 C.1 D.4
答案 B
解析 (x－1)4的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2，故选B.
(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
答案
解析 通项为Tk＋1＝Cx10－kak，令10－k＝7，
∴k＝3，∴x7项的系数为Ca3＝15，
∴a3＝，∴a＝.
(3)(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为________.
答案 92
解析 方法一 (1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C(1＋2x)5＋C(1＋2x)4(－3x2)＋C(1＋2x)3(－3x2)2＋…＋C(－3x2)5，
所以x5的系数为CC25＋CC×23×(－3)＋CC×2×(－3)2＝92.
方法二 (1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为CC35＋C(－1)C34＋C(－1)2C33＋C(－1)3C32＋C(－1)4C31＋C(－1)5C30＝92.
二项式系数的和与各项系数的和问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例4 (1)(2019·郑州一中测试)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )
A.－1 B.1 C.27 D.－27
答案 A
解析 依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.
(2)(2019·宣城调研)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为( )
A.1 B.2
C.129 D.2 188
答案 C
解析 令x＝0得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
则a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.
命题点2 二项式系数的最值问题
例5 (2019·马鞍山模拟)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A.3 B.5 C.6 D.7
答案 D
解析 根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴n的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x)20－k·k＝()20－k·C·，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共有7项.
思维升华 (1)形如(ax＋b)n，(ax3＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x＝1即可.
(2)当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.
跟踪训练2 (1)(2019·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A.29 B.210
C.211 D.212
答案 A
解析 由题意知C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
(2)(2019·合肥质检)已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________.
答案 3
解析 当x＝0时，(－1)5＝－1＝a0.当x＝1时，(m－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33－1＝32，则m－1＝2，m＝3.
(3)已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B
解析 由题意可知，a＝C，b＝C，
∵13a＝7b，∴13·＝7·，
即＝，解得m＝6.
1.(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中，沙洋中学联考)在6的展开式中，常数项为( )
A.－240 B.－60 C.60 D.240
答案 D
解析 6的二项展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)6－kk＝C(－2)kx12－3k，
令12－3k＝0得k＝4，
即常数项为T5＝C(－2)4＝240.
2.(2020·秦皇岛模拟)5的展开式中x3项的系数为( )
A.80 B.－80 C.－40 D.48
答案 B
解析 5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)5－k·k＝(－1)k·25－k·C·x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1.于是展开式中x3项的系数为(－1)·25－1·C＝－80，故选B.
3.(2019·十堰调研)若n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 n展开式的通项为C(x6)n－k ＝C，k＝0,1,2，…n，
则依题设，由6n－k＝0，
得n＝k，∴n的最小值等于5.
4.(2020·广州海珠区模拟)(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为( )
A.－80 B.－40 C.40 D.80
答案 D
解析 (2x－y)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)6－k(－y)k，当k＝2时，T3＝240x4y2，当k＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D.
5.(2019·江淮十校考前最后一卷)已知(x＋1)(2x＋a)5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是( )
A.－40 B.－20 C.20 D.40
答案 D
解析 令x＝1，可得(x＋1)(2x＋a)5的展开式中各项系数和为2(2＋a)5＝2.
∴a＝－1.
二项式(2x－1)5的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)5－k·(－1)k
＝25－k·(－1)k·C·x5－k，
所以(x＋1)(2x－1)5的展开式中含x3项的系数为22(－1)3C＋23(－1)2C＝40.
6.(2020·安徽安庆期末)在二项式n的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是( )
A.35 B.－35 C.－56 D.56
答案 C
解析 由于第五项的二项式系数最大，所以n＝8.所以二项式8展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx8－k(－x－1)k＝(－1)kCx8－2k，令8－2k＝2，得k＝3，故展开式中含有x2项的系数是(－1)3C＝－56.
7.(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为( )
A.21 B.35 C.45 D.28
答案 B
解析 ∵Tk＋1＝C(3x)k＝3kCxk，由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，因此，x4的二项式系数为C＝35，故选B.
8.(2019·郑州质检)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( )
A.50 B.70 C.90 D.120
答案 C
解析 令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.
二项展开式的通项Tk＋1＝Cx5－kk＝C3k，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系数为C32＝90.
9.(2020·焦作期中)(x－)6的展开式中，含x5项的系数为________.
答案 15
解析 展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)k·，
令6－＝5，得k＝2，
故含x5的系数为C＝15.
10.(2019·晋城模拟)(2－3x)2(1－x)7的展开式中，x3的系数为________.
答案 －455
解析 依题意，x3的系数为4C×(－1)3－12C(－1)2＋9C(－1)＝－455.
11.已知(2x＋1)5(a≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a＝________，展开式中常数项为________.
答案 － 10
解析 在(2x＋1)5中，
令x＝1，得(a＋1)·35＝81，解得a＝－，
所以(2x＋1)5的展开式中的常数项为
·C·2x＝10.
12.(2019·怀化模拟)若在n的二项展开式中，第3项和第4项的二项式系数相等且最大，则·n的展开式中的常数项为________.
答案 －120
解析 由n的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，
则展开式共6项，即n＝6－1＝5，又n展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－kk＝25－kCx5－2k，
则·n的展开式中的常数项为22C－2·23C＝－120.
13.已知(xcos θ＋1)5的展开式中x2的系数与4的展开式中x3的系数相等，且θ∈(0，π)，则θ等于( )
A. B.或
C. D.或
答案 B
解析 由二项式定理知(xcos θ＋1)5的展开式中x2的系数为Ccos2θ，4的展开式中x3的系数为C×，所以Ccos2θ＝C×，解得cos2θ＝，解得cos θ＝±，又θ∈(0，π)，所以θ＝或，故选B.
14.5的展开式中常数项是________.
答案 －1 683
解析 5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x,2x，，，－3，则此时的常数项为C·C·22·(－3)＝－360，第二种情况是从五个中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243，第三种情况是从五个中分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C·C·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.
15.(2019·衡水中学调研卷)设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm).若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod10)，则b的值可以是( )
A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021
答案 D
解析 a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2 021.
16.若n展开式中前三项的系数和为163，求：
(1)展开式中所有x的有理项；
(2)展开式中系数最大的项.
解 易求得展开式前三项的系数为1,2C，4C.
由题意得1＋2C＋4C＝163，可得n＝9.
(1)设展开式中的有理项为Tk＋1，
由Tk＋1＝C()9－kk＝2kC，
又∵0≤k≤9，∴k＝2,6.
故有理项为T3＝22C·＝144x3，
T7＝26·C·＝5 376.
(2)设展开式中Tk＋1项的系数最大，则
∴≤k≤，
又∵k∈N，∴k＝6，
故展开式中系数最大的项为T7＝5 376.
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