2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第九章　平面解析几何

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

基础知识整合

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

②倾斜角的范围为0°≤α<180°.

(2)直线的斜率

2．直线方程的几种形式

1．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系．

牢记口诀：

“斜率变化分两段，90°是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．

2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．

1．已知直线过A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45°，则m＝(　　)

A．3 B．－3

C．5 D．－1

答案　A

解析　∵直线过A(2,4)，B(1，m)两点，∴直线的斜率为＝4－m.又直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m＝1，∴m＝3.故选A．

2．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)

A． B．

C． D．

答案　D

解析　由直线的方程得直线的斜率k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，所以α＝.

3．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)

A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0

C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0

答案　D

解析　直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.

4．(2019·四川绵阳联考)过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)

A．2x＋y－12＝0

B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0

C．x－2y－1＝0

D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0

答案　B

解析　设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a，①当a＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为＋＝1，又直线过点(5,2)，所以＋＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.故选B．

5．(2020·广东深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0的图象有可能是(　　)

答案　B

解析　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，B项符合．

6．直线l与直线y＝1，直线x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率是(　　)

A． B．

C．－ D．－

答案　C

解析　设P(a,1)，Q(b，b－7)，由线段PQ的中点坐标为(1，－1)可得解得所以P(－2，1)，Q(4，－3)，所以直线l的斜率k＝＝－，故选C．

核心考向突破

考向一　直线的倾斜角与斜率

例1　(1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A． B．

C．∪ D．∪

答案　B

解析　依题意，直线的斜率k＝－∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是.

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)

解析　如图，∵kAP＝＝1，

 kBP＝＝－，

∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．

直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．

[即时训练]　1.(2019·南昌模拟)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.

2．(2019·安徽五校联考)已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)

A． B．∪[2，＋∞)

C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1,2]

答案　B

解析　直线kx－y＋1－k＝0恒过P(1,1)，kPA＝2，kPB＝，故k的取值范围是∪[2，＋∞)．故选B．

考向二　求直线的方程

例2　根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．

解　(1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝(0<α<π)，

从而cosα＝±，则k＝tanα＝±，

故所求直线方程为y＝±(x＋4)，

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

(3)直线3x－4y－5＝0与y轴的交点为A，所求直线过A，且斜率k＝－，所求直线方程为y＝－x－，即3x＋4y＋5＝0.

1．直线方程的求法

(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．

(2)待定系数法：其具体步骤为，①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程，如果有遗漏需要补加．

2．应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．

[即时训练]　3.已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)

A．1 B．－1

C．－2或－1 D．－2或1

答案　D

解析　当a＝0时，直线方程为y－2＝0，不满足题意，所以a≠0，直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2＋a，则由2＋a＝，得a＝－2或a＝1.

4．已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为(　　)

A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0

C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0

答案　B

解析　因为B(3,1)，C(1,3)，所以kBC＝＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A(－1，1)，所以其所在的直线方程的x－y＋2＝0.

5．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________．

答案　2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0

解析　设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.

角度1　直线方程与不等式的结合

例3　过点P(4,1)作直线l，分别交x轴，y轴的正半轴于点A，B．

(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

解　设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.

(1)因为＋＝1≥2＝，

所以ab≥16，S△AOB＝ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．

所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，

此时直线l的方程为＋＝1，

即x＋4y－8＝0.

(2)因为＋＝1，a>0，b>0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．

所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.

角度2　直线方程与函数的结合

例4　为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？

解　如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，

∴直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．

易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF上时，可取最大值，

在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，

PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，

则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．

又＋＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－m.

∴S＝(100－m)

＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．

∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP|∶|PF|＝5∶1.

所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．

直线方程综合问题的两大类型及解法

(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．

(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．

[即时训练]　6.已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．

解　如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB．

易得A(1,1)，B(－1,5)，

所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，

故的最大值是8，最小值是.

7．如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米？

解　如图建立平面直角坐标系，

设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，

所以A，B(0,4－3k)，

所以△ABO的面积

S＝(4－3k)＝，

因为k<0，

所以－9k－≥2＝24，

当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号．此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的长度为＝10米．