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    2021高三统考北师大版数学一轮学案:第9章第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
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    2021高三统考北师大版数学一轮学案:第9章第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

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    第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
    基础知识整合

    1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)

    相离
    相切
    相交
    图形



    量化
    方程观点
    Δ<0
    Δ=0
    Δ>0
    几何观点
    d>r
    d=r
    d 2.圆与圆的位置关系(⊙O1,⊙O2半径r1,r2,d=|O1O2|)

    相离
    外切
    相交
    内切
    内含
    图形





    量的
    关系

    d> r1+r2

    d=r1+r2

    |r1-r2|< d
    d=|r1-r2|

    d<|r1-r2|

    1.圆的切线方程常用结论
    (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
    (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
    (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
    2.直线与圆的位置关系的常用结论
    (1)当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.
    (2)弦长公式|AB|=|xA-xB|=.
    3.圆与圆的位置关系的常用结论
    (1)两圆的位置关系与公切线的条数:
    ①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条.
    (2)两圆相交时公共弦的方程
    设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
    圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
    若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②所得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
    (3)两个圆系方程
    ①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
    ②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防丢解).

    1.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0截得的弦长为(  )
    A. B.2
    C. D.2
    答案 D
    解析 直线方程为y=x,圆的标准方程为x2+(y-2)2=4,则圆心(0,2)到直线的距离d==1,所以所求弦长为2×=2.
    2.圆Q:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为(  )
    A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
    C.x-y+4=0 D.x-y+2=0
    答案 D
    解析 ∵P(1,)在圆Q:x2+y2-4x=0上,∴切线方程为x-y+2=0.
    3.(2019·温州十校联考)对任意的实数k,直线y=kx-1与圆C:x2+y2-2x-2=0的位置关系是(  )
    A.相离 B.相切
    C.相交 D.以上三个选项均有可能
    答案 C
    解析 直线y=kx-1恒经过点A(0,-1),圆x2+y2-2x-2=0的圆心为C(1,0),半径为,而|AC|=<,点A在圆内,故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交.故选C.
    4.(2019·山东省实验中学模拟)圆C1:(x+2)2+(y-2)2=4和圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是(  )
    A.相离 B.相交
    C.内切 D.外切
    答案 B
    解析 易得圆C1的圆心为C1(-2,2),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(2,5),半径r2=4,圆心距|C1C2|==5<2+4=r1+r2,又|C1C2|>4-2,所以两圆相交.
    5.圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在的直线方程为________.
    答案 x-y+2=0
    解析 将两圆方程相减,得4x-4y+12=4,即x-y+2=0.
    6.若P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是________.
    答案 x-y-3=0
    解析 ∵C(1,0),∴直线CP的斜率为-1,即直线AB的斜率为1,∴直线AB的方程为y+1=1×(x-2),即x-y-3=0.
    核心考向突破
    考向一 直线与圆的位置关系
    例1 (1)(2019·安徽黄山模拟)若曲线x2+y2-6x=0(y>0)与直线y=k(x+2)有公共点,则k的取值范围是(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 C
    解析 ∵x2+y2-6x=0(y>0)可化为(x-3)2+y2=9(y>0),∴曲线表示圆心为(3,0),半径为3的上半圆(不包括圆与x轴的交点),它与直线y=k(x+2)有公共点的充要条件是圆心(3,0)到直线y=k(x+2)的距离d≤3,且k>0,∴≤3,且k>0,解得0 (2)(2019·深圳模拟)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(  )
    A.相切 B.相交
    C.相离 D.不确定
    答案 B
    解析 因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1,故直线ax+by=1与圆O相交.故选B.

    判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
    (1)代数法:
    (2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:dr⇔相离.

    [即时训练] 1.(2019·福建漳州八校联考)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么(  )
    A.m∥l,且l与圆相交 B.m⊥l,且l与圆相切
    C.m∥l,且l与圆相离 D.m⊥l,且l与圆相离
    答案 C
    解析 ∵点P(a,b)(ab≠0)在圆内,∴a2+b2=r,∴m∥l,l与圆相离.故选C.
    2.(2019·陕西渭南模拟)已知△ABC的三边长为a,b,c,且满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离,则△ABC是(  )
    A.直角三角形 B.锐角三角形
    C.钝角三角形 D.以上情况都有可能
    答案 C
    解析 由已知得圆心(0,0)到直线ax+by+2c=0的距离d=>2,所以c2>a2+b2,在△ABC中,cosC=<0,所以C为钝角,故△ABC为钝角三角形.
    精准设计考向,多角度探究突破
    考向二 直线与圆的综合问题
    角度1 圆的切线问题
    例2 已知点P(+1,2-),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.
    (1)求过点P的圆C的切线方程;
    (2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.
    解 由题意,得圆心C(1,2),半径r=2.
    (1)∵(+1-1)2+(2--2)2=4,
    ∴点P在圆C上.
    又kPC==-1,
    ∴切线的斜率k=-=1,
    ∴过点P的圆C的切线方程是y-(2-)=1×[x-(+1)],即x-y+1-2=0.
    (2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,
    ∴点M在圆C外部,
    当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.
    又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,
    即此时满足题意,所以直线x-3=0是圆的切线.
    当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,
    则圆心C到切线的距离为d==r=2,解得k=.
    ∴切线方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.
    综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.
    ∵|MC|==,
    ∴过点M的圆C的切线长为==1.

    圆的切线方程的求法
    (1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.
    (2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.

    [即时训练] 3.(2019·安徽江南十校第二次联考)已知两个定点A(-1,0),B(2,0),动点P(x,y)到点A的距离是它到点B距离的2倍.
    (1)求P点的轨迹E;
    (2)若过点C(1,1)作轨迹E的切线,求此切线的方程.
    解 (1)设动点P(x,y),则|PA|=2|PB|,坐标代入得 =2,
    化简得(x-3)2+y2=4,所以动点P的轨迹E是以(3,0)为圆心,以2为半径的圆.
    (2)当切线斜率存在时,设l:y-1=k(x-1)是圆E的切线,则有=2⇒k=;当切线斜率不存在时,l:x=1恰好与圆E切于点(1,0).
    综上,得切线方程为x=1或3x-4y+1=0.
    角度2 圆的弦长问题
    例3 (1)过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为(  )
    A.5x+12y+20=0
    B.5x+12y+20=0或x+4=0
    C.5x-12y+20=0
    D.5x-12y+20=0或x+4=0
    答案 B
    解析 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,由|AB|=8知,圆心(-1,2)到直线l的距离d=3.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=-4时,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.则有=3,∴k=-.此时直线l的方程为5x+12y+20=0.综上,直线l的方程为5x+12y+20=0或x+4=0.
    (2)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=________.
    答案 4
    解析 由题意可知直线l过定点(-3,),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,),由于|AB|=2,r=2,所以圆心到直线AB的距离为d==3,又由点到直线的距离公式可得d==3,解得m=-,所以直线l的斜率k=-m=,即直线l的倾斜角为30°.如图,过点C作CH⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|==4.


    求直线被圆截得的弦长的常用方法
    (1)几何法:直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形,且r2=2+d2.
    (2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=|x1-x2|=·
    或|AB|=|y1-y2|
    =·(k≠0).

    [即时训练] 4.(2019·天津南开中学模拟)若3a2+3b2-4c2=0,则直线ax+by+c=0被圆O:x2+y2=1所截得的弦长为(  )
    A. B.1
    C. D.
    答案 B
    解析 因为a2+b2=c2,所以圆心O(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d==<1,所以直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为2=2×=1,故选B.
    5.(2019·湖南株洲二模)设直线l:3x+4y+a=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=25交于A,B两点,且|AB|=6,则a的值是________.
    答案 10或-30
    解析 由垂径定理,得d===4,所以圆心到直线的距离为4,得=4,
    解得a=10或a=-30.
    考向三 两圆的位置关系
    例4 (1)(2019·河北衡水模拟)圆C1:(x+1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x-3)2+(y-2)2=4的公切线的条数是(  )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    答案 C
    解析 圆C1:(x+1)2+(y-2)2=4的圆心为(-1,2),半径为2,圆C2:(x-3)2+(y-2)2=4的圆心为(3,2),半径为2,两圆的圆心距|C1C2|==4=2+2,即两圆的圆心距等于两圆的半径之和,故两圆相外切,故公切线的条数为3.故选C.
    (2)(2019·河南新乡二模)若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为6,则圆D的半径为(  )
    A.5 B.2
    C.2 D.2
    答案 D
    解析 由得2x-6y=4-R2,因为公共弦长为6,所以直线2x-6y=4-R2经过圆C的圆心(0,4),即2×0-6×4=4-R2,则R2=28,所以圆D的半径为2.故选D.

    (1)判断两圆位置关系的方法
    常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数法.
    (2)两圆公共弦长的求法
    先求出公共弦所在直线的方程,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.

    [即时训练] 6.(2019·重庆模拟)若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x+m)2+y2=20相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是(  )
    A.3 B.4
    C.2 D.8
    答案 B
    解析 由题意知O1(0,0)与O2(-m,0),根据圆心距大于半径之差而小于半径之和,可得<|m|<3.再根据题意可得O1A⊥AO2,∴m2=5+20=25,∴m=±5,∴×5=2×,解得|AB|=4.故选B.
    7.(2019·江苏镇江联考)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为________.
    答案 (x+3)2+(y+3)2=18
    解析 设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
    其圆心为C(a,b),半径为r(r>0).
    ∵x2+y2+10x+10y=0可化简为(x+5)2+(y+5)2=50,∴其圆心为(-5,-5),半径为5.
    ∵两圆相切于原点O,且圆C过点(0,-6),点(0,-6)在圆(x+5)2+(y+5)2=50内,
    ∴两圆内切,∴
    解得a=-3,b=-3,r=3,
    ∴圆C的标准方程为(x+3)2+(y+3)2=18.

    (2019·江西联考)当曲线y=与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点时,实数k的取值范围是(  )
    A. B.(,]
    C.(,1 D.
    答案 C
    解析 整理y=,得x2+y2=4(y≥0),所以该曲线是以原点为圆心,2为半径的圆在x轴及x轴上方的部分.
    ∵直线kx-y-2k+4=0可化为y-4=k(x-2),
    ∴直线过定点A(2,4)且斜率为k,

    如图,设直线与半圆的切线为AD,半圆的左端点为B(-2,0).由图可知,当kAD 答题启示
    “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石,二者在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可以互相转化,而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中,可以先根据题意,作出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质,综合图象的特征,得出结论.
    对点训练
    (2019·湖北武汉模拟)若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是(  )
    A.[1-2,1+2] B.[1-,3]
    C.[-1,1+2] D.[1-2,3]
    答案 D
    解析 ∵y=3-,∴1≤y≤3,
    ∴(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3),
    即曲线y=3-表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆.直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,表示两曲线至少有一个公共点.

    当直线y=x+b过点(0,3)时,b=3;当直线y=x+b与圆y=3-相切时,由点到直线的距离公式,得2=,∴|b-1|=2.
    结合图形知b=1-2.∴1-2≤b≤3.故选D.
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